1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（课时练习）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教A版）

[对应素能提升训练第11页] 1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(－3，0，－6)　　 B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) 解析　＝(3，0，－2)＝(9，0，－6)，故选B． 答案　B 2．(多选)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是(　　) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 解析　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C正确． 答案　ABC 3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为(　　) A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 解析　显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)， 则有即令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2，1，1). 答案　C 4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列各点中，在平面α内的是(　　) A．P(1，－1，1) B．Q C．M D．N 解析　对于B，＝，则n·＝(3，1，2)·＝0，∴n⊥，则点Q在平面α内． 答案　B 5．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________． 解析　由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以DB1＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 答案　(1，1，1)(答案不唯一) 6．已知向量b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，若在直线AB上存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则点E的坐标为________________． 解析　＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，因为⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为. 答案　 7．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为___________________． 解析　由题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2). 设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直， ∴即可得 ∵|n|＝，∴＝， 解得y＝4或y＝－4. 当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1. ∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1). 答案　(－2，4，1)或(2，－4，－1) 8．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，则 ∴x＝y＝z.又单位向量的模为1，故只有B正确． 答案　B 9．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析　∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确；又与不平行，∴是平面ABCD的一个法向量，则C正确；由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴与不平行，故D错误． 答案　ABC 10．(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得 得解得 答案　AC 11．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为__________，点P的坐标满足的条件为____________． 解析　由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为＝(1，1，1).因为P∈α，所以⊥，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3. 答案　(1，1，1)　x＋y＋z＝3 12．(2022·济宁高二月考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1