主题2 第4章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α. 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(±α,π±α的正弦、余弦、正切). 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:tan α=(α≠+kπ,k∈Z). 2.诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 七 八 角 2kπ+α(k∈Z) -α π-α π+α -α +α +α -α 正弦 sin α -sin α sin α -sin α cos α cos α -cos α -cos α 余弦 cos α cos α -cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α 正切 tan α -tan α -tan α tan α 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 　 诱导公式的记忆口诀可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”这里的奇、偶指的是k·±α(k∈Z)中k是奇数还是偶数,“符号看象限”指的是把α看成锐角时,k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号,即原三角函数值的符号. 1.化简sin 870°的值是(　A　) A. B.- C. D.- 解析:sin 870°=sin(720°+150°)=sin(180°-30°)=.故选A. 2.(新教材习题改编)已知α是第三象限角,sin α=-,则cos α等于(　B　) A.- B.- C. D. 解析:因为sin α=-,α是第三象限角, 所以cos α=-=-.故选B. 3.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为　 　　.  解析:因为<α<, 所以cos α<0,sin α<0且cos α>sin α, 所以cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=, 所以cos α-sin α=. 答案: 4.已知cos α=,-<α<0,则的值为　　　　.  解析:因为-<α<0, 所以sin α=-=-, 所以tan α=-2. 则==-==. 答案: 同角三角函数基本关系的应用 　“知一求二”问题 已知α∈(,π),tan α=-,则cos(-α-)等于(　　) A. B.- C.- D. 解析:因为tan α==-, 所以cos α=-sin α, 所以sin2α+cos2α=sin2α+sin2α=sin2α=1, 所以sin2α=. 又α∈(,π),所以sin α=, 所以cos(-α-)=cos(+α)=-sin α=-.故选C. 已知sin α,cos α,tan α中的一个求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tan α=即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的符号. 　sin α,cos α的齐次式问题 已知=5,则cos2α+sin 2α的值是(　　) A. B.- C.-3 D.3 解析:由=5,得=5, 可得tan α=2,则cos2α+sin 2α=cos2α+sin αcos α===.故选A. 1.分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α的式子求解. 2.关于sin α,cos α的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α. 　“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系 已知-<α<0,sin α+cos α=. (1)求sin α-cos α的值; (2)求tan α; (3)求的值. 解:(1)因为sin α+cos α=, 所以(sin α+cos α)2=()2, 即1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-. 因为(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=1+=. 又因为-<α<0,所以sin α<0,cos α>0, 所以sin α-cos α<0. 所以sin α-cos α=-. (2)由已知条件及(1)可知 解得 所以tan α=-. (3)由(1)可得 ===.所以=. 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. [针对训练] 1.若α∈(,π),sin(π-α)=,则tan α等于(　　) A.- B. C.- D. 解析:因为α∈(,π),sin α=,所以cos α=-,所以tan α=-.故选C. 2.