主题2 第4章 第1节 任意角的概念与弧度制、三角函数的定义-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第1节　任意角的概念与弧度制、三角函数的定义 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念的推广 (1)定义:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和终边. (2)分类 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可组成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. (2)公式 角α的弧度数公式 α=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°= rad;1 rad=()° 弧长公式 弧长l=αr 扇形面积公式 S=lr=αr2 3.任意角的三角函数 (1)任意角的正弦、余弦与正切的定义 如图,对于任意角α来说,设P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,r=,一般地,称为角α的正弦,记作sin α;称为角α的余弦,记作cos α, 因此sin α=,cos α=.当角α的终边不在y轴上时,称为角α的正切,记作 tan α,即tan α=.由上可知,对于每一个角α,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当α≠ kπ+(k∈Z)时,有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切,都称为α的三角函数. (2)正弦、余弦与正切在各象限的符号 如图所示. 正弦:一、二象限正,三、四象限负; 余弦:一、四象限正,二、三象限负; 正切:一、三象限正,二、四象限负. 简记口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 1.扇环的面积公式S=(l+l′)(r-r′).其中l,l′是扇环的两条弧长,r,r′是两条弧所在圆的半径,且r>r′.　 2.面积(周长)一定的扇形,周长最小(面积最大)时,扇形的弧长l与半径r满足l=2r,即扇形圆心角等于2 rad. 3.若角α∈(0,),则sin α<α<tan α. 1.(新教材习题改编)角-860°的终边所在的象限是(　C　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:-860°=-2×360°-140°,-860°和-140°的终边相同,故-860°的终边在第三象限.故选C. 2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　) A.2kπ-45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C. 3.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在(　D　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合;由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二或第四象限.故θ的终边只能位于第四象限.故选D. 4.已知角α的终边与单位圆的交点为M(,y),则sin α等于(　B　) A. B.± C. D.± 解析:由题意知r2=()2+y2=1,所以y=±.由三角函数的定义知sin α=y=±.故选B. 5.角-225°=　　　　弧度,这个角在第　　　　象限.  答案:-　二 6.已知半径为120 mm的圆上,有一条弧长是144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为　　　　 rad.  解析:由题意知α== rad=1.2 rad. 答案:1.2 象限角及终边相同的角 1.若角α是第二象限角,则是(　C　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:因为α是第二象限角, 所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 所以+kπ<<+kπ,k∈Z. 当k为偶数时,是第一象限角; 当k为奇数时,是第三象限角. 综上,是第一或第三象限角.故选C. 2.-2 021°角是第　　　　象限角,与-2 021°角终边相同的最小正角是　　　　,最大负角是　　　　.  解析:因为-2 021°=-6×360°+139°,所以-2 021°角的终边与139°角的终边相同.所以-2 021°角是第二象限角,与-2 021°角终边相同的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故与-2 021°角终边相同的最大负角是-221°. 答案:二　139°　-221° 3.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　.  解析:如图,在平面直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-,故满足条件