主题2 第2章 第5节 指数与指数函数-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　指数与指数函数 1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.根式 一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根 (1)0的任意正整数次方根均为0,记作 =0. (2)正数a的偶数次方根有两个,它们互为相反数,其中正的方根称为a的n次算术根,记为 ;负的方根记为-;负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当a<0且n为偶数时,在实数范围内没有意义. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个正数,负数的奇数次方根是一个负数 当有意义的时候,称为根式,n称为根指数,a称为被开方数 当n为任意正整数时,()n=a 当n为奇数时,=a 当n为偶数时,=|a|= 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:= a>0,m,n∈N+,n>1 负分数指数幂:== 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 as·at=as+t a>0,b>0, s,t∈Q (as)t=ast (ab)s=asbs 有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来 运算. 3.指数函数的概念、图像与性质 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图像特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图像逐渐下降 当x逐渐增大时,图像逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 减函数 增函数 函数变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数. 1.指数函数图像的对称规律 函数y=ax的图像与y=a-x的图像关于y轴对称,y=ax的图像与y=-ax的图像关于x轴对称,y=ax的图像与y=-a-x的图像关于坐标原点对称. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图像越高. 1.(新教材习题改编)指数函数y=f(x)的图像过点(2,4),则f(3)的值为(　B　) A.4 B.8 C.16 D.1 解析:设函数的解析式为f(x)=ax(a>0,a≠1),又由函数的图像过点(2,4),则a2=4,解得a=2,即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选B. 2.(新教材习题改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　B　) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N) C.y=a(1+xp%)(0<x<m) D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N) 解析:设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)·(1+p%)=a(1+p%)3,…,则y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).故选B. 3.已知0<m<n<1,则指数函数①y=mx;②y=nx的图像是(　C　) 解析:由0<m<n<1可知两曲线应为递减的曲线,故排除A,B,再由n>m可知应选C. 4.(2)0+2-2×-(0.01等于(　A　) A. B.3 C.-8 D.0 解析:(2)0+2-2×-(0.01=1+×-=.故选A. 5.写出一个在定义域R上满足f(x+y)=f(x)f(y),且是增函数的一个函数:　　　　　　.  解析:满足性质f(x+y)=f(x)f(y)的函数是一个指数函数,要使指数函数是增函数,则只需要底数a>1即可. 答案:f(x)=2x(答案不唯一,只要是底数a>1的指数函数即可) 指数幂的运算 1.当a>0时,等于(　C　) A.x B.x C.-x D.-x 解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x.故选C. 2.已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　)