主题2 第2章 第4节 幂函数与二次函数-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　幂函数与二次函数 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图像,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. (2)五种幂函数的图像: (3)五种幂函数的性质: 　　函数 性质　　 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 单调性 增 x∈ [0,+∞) 时,增; x∈ (-∞,0] 时,减 增 增 x∈ (0,+∞) 时,减; x∈ (-∞,0) 时,减 1.幂函数y=xα在第一象限内的两个重要结论 (1)恒过点(1,1). (2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大. 2.两个幂函数的图像最多只有3个交点(如y=x,y=x3的图像). 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图像的对称轴方程是x=-,顶点坐标是(-,) 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图像的对称轴方程是x=m,顶点坐标是(m,n) 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图像的对称轴方程是x= (2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质 a>0 a<0 图像 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 单调性 在(-∞,-]上单调递减,在(-,+∞)上单调递增 在(-∞,-]上单调递增,在(-,+∞)上单调递减 最值 当x=-时, ymin= 当x=-时, ymax= 二次函数图像对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y=f(x),如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),那么函数y=f(x)的图像关于直线x=对称. (2)二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称(a为常数). 1.(新教材习题改编)已知幂函数f(x)=xa(a∈R)的图像过点(16,2),若f(m)=3,则实数m的值为(　D　) A.9 B.12 C.27 D.81 解析:因为幂函数f(x)=xa(a∈R)的图像过点(16,2),所以16a=2,解得a=,即f(x)=. 因为f(m)=3,所以=3,解得m=81,所以实数m的值为81.故选D. 2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限内的图像,则a,b,c的大小关系为(　D　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b 解析:令x=2,结合图像有2a<2c<2b,所以a<c<b.故选D. 3.二次函数y=x2+bx+c图像的对称轴是直线x=2,则有(　C　) A.f(1)<f(2)<f(4) B.f(2)<f(4)<f(1) C.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1) 解析:由二次函数y=x2+bx+c图像的对称轴是直线x=2,且开口向上,可知f(2)是最小值,f(1)=f(3)<f(4), 所以f(2)<f(1)<f(4).故选C. 4.若二次函数y=mx2+2x+1的图像恒在x轴上方,则实数m的取值范围是　　　　　　.  解析:由题意解得m>1. 答案:(1,+∞) 5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x=1时,f(x)有最大值4,且|a|=1,则它的解析式为　　　　.  解析:因为f(x)有最大值,所以a<0.又|a|=1,所以a=-1.由题意得点(1,4)是抛物线的顶点.所以所求抛物线的解析式为f(x)=-(x-1)2+4,即f(x)=-x2+2x+3. 答案:f(x)=-x2+2x+3 幂函数的图像与性质 1.已知函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q),在下列函数图像中,不是函数y=f(x)图像的是(　C　) 解析:函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q)为幂函数,图像不经过第四象限,所以C中函数图像不是函数y=f(x)的图像.故选C. 2.下列函数中,其定义域和值域不同的是(　D　) A.y= B.y= C.y= D.y= 解析:A中,y==,因此定义域和值域都是R;B中,y==,因此函数的定义域和值域都是(0,+∞);C中,y==的定义域和值域都