主题2 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断应用函数的周期性. 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D 且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数 且f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数 图像 特征 关于y轴对称 关于原点对称 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (1)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. (2)不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数f(x)=c(c是常数)是周期函数,但没有最小正周期. 1.奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数. (4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),x∈R,a>0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a. (3)若f(x+a)=,则函数的一个周期为2a. (4)若f(x+a)=-,则函数的一个周期为2a. 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图像关于点(b,0)中心对称. 1.(新教材习题改编)下列函数中为偶函数的是(　B　) A.y=x3 B.y=x2 C.y=|ln x| D.y=2-x 解析:A为奇函数,C,D为非奇非偶函数,B为偶函数.故选B. 2.(新教材习题改编)设f(x)是定义在R上周期为3的函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2-x,则f()等于(　B　) A. B.- C. D. 解析:因为f(x)是定义在R上周期为3的函数, 所以f()=f(-3)=f().又当0≤x≤1时,f(x)=x2-x, 则f()=-=-.故选B. 3.若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为[a,2b],则a+2b= 　　　. 解析:因为f(x)是偶函数,函数的定义域关于原点对称,所以a+2b=0. 答案:0 4.(2020·江苏卷)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.  解析:由题意可得f(-8)=-f(8)=-=-(23=-22=-4. 答案:-4 5.(2021·山东日照高三模拟)写出一个满足f(x)=f(2-x)的奇函数:f(x)=　　　　.  解析:取f(x)=sin x,下面为证明过程: 显然,其定义域为R; 由f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x),故f(x)=sin x为奇函数; 又f(2-x)=sin[(2-x)]=sin(π-x)=sin x=f(x). 答案:sinx(答案不唯一) 函数奇偶性的判断及应用 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x<0时,f(x)=2x2-2,则f(f(-1))+f(2)=(　B　) A.-8 B.-6 C.4 D.6 解析:法一　因为当x<0时,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函数是奇 函数, 则f(0)=0,f(-2)=2×(-2)2-2=2×4-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1))+f(2)=-6.故选B. 法二　因为当x<0时,f(x)=2x2-2, 所以f(-1)=0,则f(f(-1))=f(0)=0. 设x>0,则-x<0.所以f(-x)=2(-x)2-2=2x2-2.又因为函数满足f(-x)= -f(x), 即-f(x)=2x2-2,因此f(x)