主题1 第1章 第4节 均值不等式及其应用-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　均值不等式及其应用 1.掌握均值不等式≥(a>0,b>0). 2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数称为a,b的几何平均值.两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 2.均值不等式≥ (1)均值不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b. 3.均值不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小). (2)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大). a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件相同吗? 提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0. 1.+≥2(a,b同号). 2.ab≤(a,b∈R). 3.≥()2(a,b∈R). 4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca; (2)a>0,b>0,c>0则≥. 5.≥≥≥(a>0,b>0). 6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-或b≥2a-. 1.下列命题正确的是(　D　) A.若a,b∈R,则+≥2=2 B.若x>0,则x+>2 C.若x<0,则x+≥-2=-4 D.若x∈R,则2x2+≥2=2 解析:A选项必须保证a,b同号.B选项应含有等号,即若x>0,则x+≥2.C选项应该为“≤”.故选D. 2.(新教材习题改编)若x>0,则函数y=(　D　) A.有最大值-4 B.有最小值2 C.有最大值-2 D.有最小值4 解析:因为x>0,所以>0,所以y==+x≥2=4,当且仅当=x,即x=2时,等号成立,即函数y=有最小值4.故选D. 3.周长为12的矩形,其面积的最大值为(　D　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:设矩形的长、宽分别为x,y,则2(x+y)=12,即x+y=6.所以S=xy≤()2=9,当且仅当x=y=3时取等号.因此面积的最大值是9.故 选D. 4.函数f(x)=x+(x>1)的最小值是　　　　,此时x=　　　　.  解析:因为x>1,所以x-1>0.由均值不等式可得f(x)=x-1++1≥2+1=2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,函数取得最小值3. 答案:3　2 5.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 解析:因为x>0,a>0,所以f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即4x2=a时,f(x)取得最小值.又因为f(x)在x=3时取得最小值,所以a=4×32=36. 答案:36 利用均值不等式求最值 　直接法求最值 (-6<a<3)的最大值为　　　　.  解析:因为-6<a<3,所以3-a>0,a+6>0,由均值不等式可得≤=,当且仅当3-a=a+6,即a=-时,等号成立. 答案: 利用均值不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”. (1)“一正”就是各项必须为正数. (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值. (3)“三相等”是利用均值不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值. 　配凑法求最值 函数y=(x<-1)的最大值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.-1 解析:因为y===-[-(x+1)+]+1≤ -2+1=-1, 当且仅当x+1=,即x=-2时等号成立.故选D. 1.形如(其中f(x)是二次函数,g(x)是一次函数)的最值,常见分子中的自变量变形为分母的形式后,构造满足均值不等式的条件求 最值. 2.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用均值不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. 　常值代换法求条件最值 (1)已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=+的最大值为(　　) A.-1 B.- C.-4 D.-2 (2)(2021·贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为(　　) A.9 B.8 C.5 D.4 (3)若正实数a,b满足a+b=4,则+的最小值是　　　　.  解析:(1)因为a<0,b<0,a+b=-2,所以+=-(+)(a+b)=-(2++)≤ -(2+2)=-2,当且仅当a=b=-1时取等号,故y=+的最大值为-2.故选D. (2)由x+2y-2xy=0,得x+2y=2xy, 所以+=1. 所以(x+2y)·1=(x+2y)·(+)=2++≥2+2=4, 当且仅当=,即