主题2 第3章 第2节 第一课时 导数与函数的单调性-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　导数在研究函数中的应用 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 2.借助函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 1.导数与函数的单调性 (1)如果在区间(a,b)内,f′(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)上是增函数,如图(1); (2)如果在区间(a,b)内,f′(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)上是减函数,如图(2). 函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件. 如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0. 2.导数与函数的极值 (1)极值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有 ①f(x)<f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值. ②f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值. 极值点满足的两个条件:极值点处的导数等于零,并且两侧导数的符号相反. (2)求极值的方法 一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值: 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极 大值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极 小值. 对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,其导数f′(0)=0,但是x=0却不是其极值点. 3.导数与函数的最值 一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值,函数y=f(x) 在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点. (1)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. (2)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是 极值. 1.(新教材习题改编)函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)(　C　) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 解析:导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.故选C. 2.函数g(θ)=cos θ+θsin θ在区间(0,)上(　A　) A.单调递增 B.单调递减 C.有增有减 D.无法判定 解析:当0<θ<时,g′(θ)=-sin θ+sin θ+θcos θ=θcos θ>0,所以函数g(θ)在区间(0,)上单调递增.故选A. 3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　B　) A.1-e B.-1 C.-e D.0 解析:因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e]时,f′(x)<0.所以当x=1时,f(x)取得最大值ln 1-1=-1.故选B. 4.函数f(x)=(5-x)ex的单调递减区间是(　D　) A.(-∞,4) B.(0,4) C.(1,5) D.(4,+∞) 解析:由f′(x)=(4-x)ex<0,得x>4.故选D. 5.已知函数f(x)=x3+ax2+4x+8在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:f′(x)=3x2+2ax+4,由题意可知f′(x)≥0恒成立,因此Δ=(2a)2-4×3×4≤0,解得-2≤a≤2. 答案:[-2,2] 第一课时　导数与函数的单调性 不含参数的函数的单调性 1.函数f(x)=3+xln x的单调递减区间是(　B　) A.(,e) B.(0,) C.(-∞,) D.(,+∞) 解析:因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=ln x+x·= ln x+1,令f′(x)<0,解得0<x<,故f(x)的单调递减区