主题2 第3章 第2节 第四课时 导数与函数的零点-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第四课时　导数与函数的零点 　函数零点个数的判定 已知函数f(x)=-x2+a-. 设函数g(x)=xf(x),讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数. 解:由题意可知g(x)=xf(x)=-x3+ax-,g′(x)=-3x2+a,0<x<1, 当a≥3时,g′(x)=-3x2+a>0,g(x)在(0,1)上单调递增,由g(0)=-<0,g(1)=a->0,得g(x)在(0,1)上有一个零点; 当a≤0时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减,g(0)<0,g(1)<0,g(x)在(0,1)上无零点; 当0<a<3时,g(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减, 可得g(x)在(0,1)上的最大值为g()=-, ①若g()<0,即0<a<,g(x)在(0,1)上无零点; ②若g()=0,即a=,g(x)在(0,1)上有一个零点; ③若g()>0,即<a<3,g(0)<0,g(1)=a-, 当<a<时,g(x)在(0,1)上有两个零点; 当≤a<3时,g(x)在(0,1)上有一个零点. 综上可得,当a<时,g(x)在(0,1)上无零点;当a=或a≥时,g(x)在(0,1)上有一个零点,当<a<时,g(x)在(0,1)上有两个零点. 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)极值(最值)转化法:构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图像草图,数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数. [针对训练] 设函数f(x)=ln x+,m∈R. (1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值; (2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数. 解:(1)由题意知,当m=e时,f(x)=ln x+(x>0),则f′(x)=, 所以当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2, 所以f(x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)=f′(x)-=--(x>0), 令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0). 设(x)=-x3+x(x≥0), 则′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1). 当x∈(0,1)时,′(x)>0,(x)在(0,1)上单调递增; 当x∈(1,+∞)时,′(x)<0,(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以x=1是(x)的唯一极值点,且是极大值点, 因此x=1也是(x)的最大值点,所以(x)的最大值为(1)=. 又因为(0)=0. 结合y=(x)的图像(如图所示), 可知当m>时,函数g(x)无零点; 当m=时,函数g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点;当m≤0时,函数g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上所述,当m>时,函数g(x)无零点; 当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点; 当0<m<时,函数g(x)有两个零点. 　根据函数的零点个数求参数的取值范围 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2). (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2, 则f′(x)=ex-1. 当x<0时,f′(x)<0; 当x>0时,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f′(x)=ex-a. 当a≤0时,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 故f(x)至多存在一个零点,不符合题意. 当a>0时,由f′(x)=0可得x=ln a. 当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0; 当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. 故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a). ①若0<a≤,则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上至多存在一个零点,不符合题意. ②若a>,则f(ln a)<0. 由于f(-2)=e-2>0, 所以f(x)在(-∞,ln a)上存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时, f(x)=·-a(x+2)>eln(2a)·(+2)-a(x+2)=2a>0,