主题2 第3章 第2节 第二课时 导数与函数的极值、最值-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第二课时　导数与函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值问题 　根据图像判断函数的极值 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图像可能是(　　) 解析:因为函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,所以当x>-2时,f′(x)>0;当x=-2时,f′(x)=0;当x<-2时,f′(x)<0.所以当-2<x<0时,xf′(x)<0;当x=-2时, xf′(x)=0;当x<-2时,xf′(x)>0.故选C. 1.涉及与极值有关的函数图像问题,首先要分清给的是f(x)的图像还是f′(x)的图像,若给的是f(x)的图像,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f′(x)的图像,应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解. 2.f(x)在x=x0处有极值时,一定有f′(x0)=0,f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)在x=x0两侧的符号后才可下结论;若f′(x0)=0,则f(x)不一定在x=x0处取得极值,只有确认x1<x0<x2时,f(x1)·f(x2)<0,才可确定f(x)在x=x0处取得极值. 　求函数的极值 函数f(x)=-kln x,k>0.求f(x)的单调区间和极值. 解:由f(x)=-kln x(k>0,x>0),得f ′(x)=x-=.由f ′(x)=0,解得x=(负值舍去). 当x变化时, f(x)与f ′(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如表, x (0,) (,+∞) f ′(x) - 0 + f(x) ↘ ↗ 所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞), 所以f(x)在x=处取得极小值为 f()=,f(x)没有极大值. 利用导数研究函数的极值,首先是利用导数研究函数的单调区间,根据函数的单调性确定函数的极值,也就是f′(x)的值的符号,如果左正右负,那么y=f(x)在这个点处取极大值,如果左负右正,那么y=f(x)在这个点处取极小值.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个点处无极值. 　已知极值点求参数(范围) 已知函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex在x=1处取得极小值,求实数a的取值范围. 解:函数f(x)的导数为f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(x-1)(ax-1)ex. 法一　若a>1,则当x∈(,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. 所以f(x)在x=1处取得极小值. 若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0. 所以1不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是(1,+∞). 法二　若a=0,当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以函数f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意; 若a=1,由f′(x)=(x-1)2ex≥0知f(x)单调递增,无极值,不符合题意; 若a>1,则<1,f(x)在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 可得函数f(x)在x=1处取得极小值,符合题意; 若0<a<1,则>1,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,)上单调递减, 可得函数f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意; 若a<0,则<1,f(x)在(,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 可得函数f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意. 综上所述,实数a的取值范围是(1,+∞). 已知函数的极值点x=x0求参数的值时,首先明确f′(x0)=0,然后判断函数在x=x0左右的函数值的符号是否满足函数极值点的性质,若是涉及参数的讨论,则还要根据函数的导数的零点分类讨论,一般是将导函数的零点用参数表示出来,根据导函数的零点与极值点的关系分类讨论后求解. 　已知极值点的个数,求参数的取值范围 已知函数f(x)=-a(1n x+) (a∈R).若f(x)在(0,2)上有两个极值点,求实数a的取值范围. 解:f′(x)=-a(-)=, 要使得f(x)在(0,2)上有两个极值点,则g(x)=ex-1-ax在(0,2)上有两个变号零点. ①当a≤1时,g(x)=ex-1-ax≥ex-1-x,令S(x)=ex-1-x,S′(x)=ex-1-1, 所以当x∈(0,1)时,S′(x)<0,S(x)为减函数, 当x∈(1,2)时,S′(x)>0,S(x)为增函数, 所以S(x)≥S(1)=0,故g(x)≥0, 所以g(x)在(0,2)上没有两个零点,不符合题意. ②当a≥e时,因为x∈(0,2),ex-1∈(,e), g′(