主题2 第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表. 1.导数及其几何意义 (1)瞬时变化率与导数的定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限趋近于0时,若平均变化率=无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作 f′(x0)=k.“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f′(x0)=. (1)定义的变化形式:f′(x0)=. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)导数的几何意义:f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,即k=f′(x0)=.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条. 2.导函数 一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f′(x).于是,在f(x)的定义域内,f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作f′(x)(或y′,yx′),即f′(x)=y′=yx′= .导函数通常也简称为导数. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=C(C为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=loga x(a>0,且a≠1) f′(x)= 函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数. 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h′(x)与f′(u),g′(x)之间的关系为h′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x).这一结论也可以表示为 yx′=yu′ux′. 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)()′=-; (2)()′=; (3)[]′=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 1.(新教材习题改编)函数f(x)=ex+x2-2x的图像在点(0,f(0))处的切线方程为(　A　) A.x+y-1=0 B.x+y+1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 解析:因为f(x)=ex+x2-2x,所以f′(x)=ex+2x-2,所以f′(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.故选A. 2.下列求导数运算正确的是(　B　) A.(cos)′=-sin B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x+)′=1+ 解析:由于cos=,因此(cos)′=0,故A错误;(log2 x)′=,故B正确;(3x)′=3xln 3,故C错误;因为(x+)′=x′+()′=1-,故D错误.故选B. 3.设f(x)在x=x0处可导,且=1,则f′(x0)=(　C　) A.1 B.3 C. D.0 解析:=3=3f′(x0)=1, 所以f′(x0)=.故选C. 4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=