主题2 第2章 第9节 函数模型及其应用-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第9节　函数模型及其应用 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义. 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 2.三种函数模型性质的比较 　　　函数 性质　　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 随x的增大 逐渐表现为 与x轴平行 随n值变化 而各有 不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax 1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值: (1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减. (2)当x>0时,x= 时取最小值2, 当x<0时,x=- 时取最大值-2. 1.(新教材习题改编)在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如表所示的一组数据: x -2 -1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　D　) A.y=a+bx B.y=a+ C.y=a+logbx D.y=a+bx 解析:在平面直角坐标系中画出(x,y)表示的点,根据点的特征可知,当自变量每增加1时,y的增加是不相同的,所以不是线性增加,排除A;由图像不具有反比例函数特征,排除B;因为自变量有负值,排除C; 当自变量增加到3时,y增加的很多,所以符合指数函数的增加特征,D正确.故选D. 2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)(　B　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:设至少要洗x次,则(1-)x≤,所以x≥≈3.322,因此至少需洗4次.故选B. 3.人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB,则有f(x)=10lg ,则90 dB的声音与60 dB的声音强度的比值为(　B　) A.100 B.1 000 C. D. 解析:设90 dB的声音与60 dB的声音强度分别为x1,x2,则f(x1)=90,即10lg =90,解得x1=10-3.由f(x2)=60,即10lg =60,解得x2=10-6.因此所求强度之比为==1 000.故选B. 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16 m元,则该职工这个月实际用水为 　　　　m3.  解析:设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y= 则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13. 答案:13 5.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为　　　　元.  解析:由题意得该桶装水经营部每日利润为W(x)=(-30x+450)(x-5)-420,整理得W(x)=-30x2+600x-2 670=-30(x2-20x)-2 670,则当x=10时,利润最大. 答案:10 利用图像刻画变化过程 1.设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　D　) 解析:y为此人从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C.又因为他在乙地休息10分钟,故排除B.故选D