主题2 第2章 第8节 函数与方程-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，人教B版）

第8节　函数与方程 1.结合学过的函数图像,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图像的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. 1.函数零点 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点,α是函数 f(x) 零点的充分必要条件是,(α,0)是函数图像与x轴的公共点. 函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图像与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即 ∃x0∈(a,b),f(x0)=0. 函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点. 3.二分法 对于在区间[a,b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定近似的精度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c; ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到近似的精度ε:若|a-b|<ε,则得到零点的近似值a(或b);否则重复步骤(2)～(4). 用二分法求方程的近似解应具备两个条件,一是方程对应的函数在零点附近连续不断,二是该零点左、右的函数值异号. 4.二次函数的零点与相应的二次方程的根的个数的关系 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在[a,b]上单调时,它仅有一个零点. 2.由函数y=f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 1.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 解析:因为函数f(x)=x2+2x+a没有零点,所以方程x2+2x+a=0无实根,即Δ=4-4a<0,由此可得a>1.故选B. 2.(新教材习题改编)已知函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表: x 1 2 3 4 f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 x 5 6 7 f(x) -52.488 -232.064 11.238 由表可知函数f(x)存在零点的区间有(　D　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:因为f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)f(7)<0,所以存在零点的区间有4个.故选D. 3.(新教材习题改编)函数f(x)=3x+2x的零点所在的区间是(　C　) A.(1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-2,-1) 解析:由于函数在R上单调递增,且f(-2)=3-2+2×(-2)=-4<0, f(-1)=3-1+2×(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=3+2>0,f(2)=9+4>0,因此f(-1)f(0)<0,所以函数的零点所在的区间为(-1,0).故选C. 4.函数f(x)=的零点是(　B　) A.(-1,0),(1,0) B.-1,1 C.(-1,0) D.-1 解析:由题意可得解得x=-1; 解得x=1.综上x=±1.故选B. 函数零点存在定理的应用 1.函数f(x)=log2x-的零点所在区间为(　C　) A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析:由题意可知函数在(0,+∞)上单调递增,且连续不间断. f()=log2-2<0,f(1)=log21-1<0,f(2)=log22->0,由f(1)·f(2)<0及函数零点存在定理可得零点所在区间为(1,2).故选C. 2.已知函数h(x)=ex与g(x)=x2-8x,两个函数图像交点的横坐标所在的区间为(　B　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析: