中学数学竞赛讲座及练习第44讲判别式及其应用

第四十四讲 判别式及其应用 一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．　 　　1．判定方程根的情况 　　例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根． 　　解 因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以 △1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0， 　　即 m＜-1． 　　因为 △2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0， 　　所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根． 　　例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程 (a-2)x2+(-2a+1)x+a=0 　　的实数根的个数情况． 　　实根． 　　当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式 △=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1， 　　 　　说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．　 　　2．确定方程中系数的值或范围 　　例3 关于x的一元二次方程 　　 　 　　有实根，其中a是实数，求a99+x99的值． 　　解 因为方程有实根，所以 　 　　即 -a2-2a-1≥0． 　　因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1． 　　当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以 a99+x99=(-1)99+199=0． 　　例4 若方程 x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0 　　有实根，求a，b的值． 　　解 因为方程有实根，所以它的判别式 △=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0， 　　化简后得 2a2+4ab+4b2-2a+1≤0， 　　所以 　　　　　　　(a+2b)2+(a-1)2≤0， 　　　 　 　　 　　说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值． 　　例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程 2x2-12x+m=0 　　的两个根，求m的取值范围． 　　解 设△A