中学数学竞赛讲座及练习第43讲根与系数的关系及应用

第四十三讲 根与系数的关系及应用 如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么     反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具． 　 　　1．已知一个根，求另一个根 　　利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根． 　　例1 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值． 　　解 先求出a，b． 　　由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达 　　又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999． 　　所以a-b=1-(-1999)=2000． 　　例2 设a是给定的非零实数，解方程 　 　　解 由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于 　 　 　 　　 　　2．求根的代数式的值 　 　　在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧． 　　例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求： 　　 　　(3)α3＋β3；(4)α3-β3． 　　解 由韦达定理知 α+β=3，αβ=1． 　　 　　(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2) 　　　　　　　=(α+β)[(α+β)2-3αβ] 　　　　　　　=3(9-3)=18； 　　(4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) 　　　　　 　=(α-β)[(α+β)2-αβ] 　　　　　　 　　例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 　　解 因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以 4α2-2α-3＝0， 即 4α2=2α＋3． 4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4． 　　例5 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值． 　　解 由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以 α2+α-1=0，β2+β-1=0， 即 α2=1-α，β2=