中学数学竞赛讲座及练习第42讲 函数的最大值与最小值

第四十二讲 函数的最大值与最小值    我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题． 　 　　1．一次函数的最大值与最小值 　 　　一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了． 　　例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值． 　　　 　 　　　 　 大值a． 　　　 　 　 　　例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件 x＋y＋z=30，3x+y-z=50． 　　求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值． 　　分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了． 　　解 从已知条件可解得 y=40-2x，z=x-10． 　　所以 　　u=5x＋4y+2z 　　 ＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10) 　　　=-x+140． 　　又y，z均为非负实数，所以 　　　　　　　　　　　　 　 　　解得10≤x≤20． 　　由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．　　 　　2．二次函数的最大值与最小值 　 　　例3 已知x1，x2是方程 x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0 　　 　　解 由于二次方程有实根，所以 △=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0， 3k2＋16k＋16≤0， 　　　 　 　 　　　 　　例4 已知函数 　 　　有最大值-3，求实数a的值． 　 　　解 因为 　 　 　 　　的范围内分三种情况讨论． 　 　　　 　 -a2＋4a-1＝-3 　　 　 　　 　 　 　 　　 　 　 　　　 　 　　　 　 　　　 　　例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 　 　　解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积 S=xy，2≤X