中学数学竞赛讲座及练习第40讲有关方程组的问题

第四十讲 有关方程组的问题 在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧． 　 　　1．二元二次方程组 　 　　解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”． 　　由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法． 　　如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项． 　　例1 解方程组 　 　　解 ②×2-①×3得 4x＋9y-6＝0． 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数． 　　例2 解方程组 　 　　解 ②×(-2)+①得 3y2+3y-6=0， 所以 y1=1，y2=-2． 解方程组 　　　　　 　 与 　　　　　 　 得原方程组的解 　 　　方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解． 　　例3 解方程组 　　　　　　　　　　 　　解 由②得 (2x+y)(x-2y)=0， 所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　2x+y=0或x-2y=0． 因此，原方程组可化为两个方程组 　 与 　 解这两个方程组得原方程组的解为 　　如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解． 　　例4 解方程组 　 　　解 由①-②×2得 x2-2xy-3y2=0， 即 (x+y)(x-3y)=0， 所以 x＋y=0或x-3y=0． 分别解下列两个方程组 　 得原方程组的解为 　 　 　 　　2．二元对称方程组 　 　　方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如 x2-5xy＋y2-3x-3y=7， 等都是二元对称方程． 　　由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如 　 等都是二元对称方程组． 　　我们把 　 叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解． 　　例5 解方程组 　　 　　解 方程组中的x，y分别是新方程 m2-5m+4=0 的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是 　 　　这个方程组亦可用代入法求