中学数学竞赛讲座及练习第39讲简易高次方程的解法

第三十九讲 简易高次方程的解法 在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答． 　　例1 解方程 x3-2x2-4x＋8=0． 　　解 原方程可变形为 x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0． 所以 x1＝x2＝2，x3=-2． 　　说明 当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样 =0可化为 bkx3+bx2+dkx+d=0， 即 (kx+1)(bx2+d)=0． 　　方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理． 　　例2 解方程 　　　　(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19． 　　解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19． 设 　　　　　　 则 (y-9)(y+9)=19， 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y2-81＝19． 　 　 　　说明 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之． 　　例3 解方程 (6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6． 　　解 我们注意到 　　　　2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1， 　　　　6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1， 所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令 y=6x＋7， ① 由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得 (6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12， 即 y2(y＋1)(y-1)=72， y4-y2-72＝0， (y2＋8)(y2-9)=0． 因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为 　　例4 解方程 12x4-56x3+89x2-56x+12=0． 　　解 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由　 　 　 　 　 　 　 　　　 　 　　　　 　　例5 解方程