中学数学竞赛讲座及练习第38讲 函数的基本概念与性质

第三十八讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 　 　　1．求函数值和函数表达式 　 　　对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 　　例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 　　解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 　　　　　f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 　　　　　　　＝19y2＋93y＋30， 所以 　　 f(x)=19x2+93x＋30． 　　解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 　　　 　 　　可． 　 　　 　　例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 　　解 由题设 　　　　　　　　f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 　　　　　　　　　　 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10 　　　　　　　　　　 =-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 　　例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 　　解 设f(0)=k，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x·0)=f(0)=k， 即对任意实数x，恒有f(x)=k．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99．　 　　2．建立函数关系式 　 　　例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l2：y=mx＋b过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并画出图像． 　 　　解 因为l2过点C(1，0)，所以m＋b=0，即b=-m． 　　设l2与y轴交于点D，则点D的坐标为(0，-m)，且