中学数学竞赛讲座及练习第37讲 无理方程的解法

第三十七讲 无理方程的解法 未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用． 　　例1 解方程 　　　　　 　　解 移项得 　　　　　　　　 两边平方后整理得 　　　　　　 再两边平方后整理得 x2＋3x-28＝0， 所以 x1=4，x2=-7． 　　经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4． 　　说明 用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 　　例2 解方程 　　　　 　　　 方公式将方程的左端配方．将原方程变形为 　 　 　 　 　 　 所以 　　 两边平方得 3x2+x=9-6x＋x2， 　　   两边平方得 3x2+x=x2＋6x＋9， 　 　　　　 　　例3 解方程 　　　　　 　　　 　　　　　　 即 　　　　　　 所以 　　　　　　　 　 　　　　　　　 移项得　 　　　　　　　　 　 　　　　　 　　例4 解方程 　　　　 　 　　解 三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为 　　　　　 配方得 　　　　　 　 利用非负数的性质得 　　　　　 　 所以 x=1，y=2，z=3． 　　经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根． 　　例5 解方程 　 　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　 所以 　 将①两边平方、并利用②得 x2y2＋2xy-8=0， (xy＋4)(xy-2)=0． xy=2．　　　　　　　③ 　 　　　　 　　例6 解方程 　　　　 　　解 观察到题中两个根号的平方差是13，即 　 ②÷①便得 　　　　 　 由①，③得　　 　　　　　 　 　　 　　例7 解方程 　　　　 　　分析与解 注意到 　　　　(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)． 设 　　 则 u2-v2＝w2-t2，　① u+v=w+t．　　② 因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得 　　　　　　　　　　　　　u-v=w-t． 　　　　　　　　③ ②＋③