中学数学竞赛讲座及练习第36讲 分式方程组的解法

第三十六讲 分式方程(组)的解法   分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 　　例1 解方程 　　　　 　　 解 令y=x2＋2x-8，那么原方程为 　　　　 　 去分母得 　　y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， 　　y2-4xy-45x2=0， 　　(y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x． 由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 　　经检验，它们都是原方程的根． 　　例2 解方程 　 　　　　　 　　　 　　 　　　　 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． 　　x2-2x＋6=0． 此方程无实数根． 　　 x2-8x+12=0， 所以 x1=2或x2=6． 　　经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 　　例3 解方程 　　　　 　　分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 　　 整理得 　　 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 　　经检验知，x=-9是原方程的根． 　　例4 解方程 　　 　　分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 　　 即 　　 所以 　　　　　　　((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 　 　　 　　例5 解方程 　　　　 　　分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为 　　 　 整理得 　　 　 去分母得 x2＋9x-22＝0， 解得 x1=2，x2=-11． 　　经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根． 　　例6 解方程 　　　　　 　　次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为 　　 所以 　　　　　　x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3． 　 　　 　　例7 解方程 　　　　 　　分