中学数学竞赛讲座及练习第33讲 相似三角形一

第三十三讲 相似三角形(一) 两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用． 　　关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用． 　　例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 　 　　分析 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF． 　　解 在△ABC中，因为EF∥AB，所以 　　同样，在△DBC中有 　　①＋②得 　　设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得 　　　 　　说明 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题 　　请同学自己证明． 　　例2 如图2-65所示． ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE． 　 　　分析 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解． 　　解 过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以 　 　　在△FOG中，由于GO∥EB，所以 　 　 　　 　　例3 如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分 　 　　分析 因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标． 　　证 过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以 ∠BAD=∠CAD=60°． 　　又 ∠BAD=∠EDA=60°， 　　所以△ADE是正