中学数学竞赛讲座及练习第31讲 梯形

第三十一讲 梯形 与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用． 　　例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形． 　 　　分析 因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF． 　　证 因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以 ED∥BF． 　　又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以 　　EC=DF． ① 　　又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以 　　EC=EB． ② 　　由①，② EB=DF． 　　下面证明EB与DF不平行． 　　若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EBDF． 　　根据定义，EBFD是等腰梯形． 　　例2 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数． 　 　　分析 由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数． 　　解 过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知 AF2+BF2=AB2， 　　即 　 　　 　　又 BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2， 　　由于BC=DB，所以，在Rt△BED中， 　 　 　　 　　从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中， 　 　　 　　例3 如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF． 　 　　分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF． 　　证