中学数学竞赛讲座及练习第28讲 三角形的全等及其应用

第二十八讲 三角形的全等及其应用 在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理： 　　(1)边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)． 　　(2)角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)． 　　推论 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)． 　　(3)边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)． 　　关于直角三角形有： 　　(4)斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)． 　　利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质，在本讲中将直接利用这些性质． 　　借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题． 　　例1 如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC． 　　分析 用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的全等三角形之中．本题的AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE． 　 　　证 由已知，∠1=∠2， 　　∠ABC=∠DCB，而 　　∠EBC=∠ABC-∠1， 　　∠ECB=∠DCB-∠2， 　　所以∠EBC=∠ECB．在 　　△ABC及△BCD中， 　　∠ABC=∠BCD， 　　∠EBC=∠ECB，BC=BC， 　　所以 △ABC≌△DCB(ASA)， 　　所以 AB=CD． 　　说明 线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接证明这两个三角形全等． 　　例2 如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE． 　 　　分析 从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一． 　　证 过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中， ∠BGD=∠EGF(对顶角)， ① 　　∠B=∠F(两直线平行内错角相等)． ② 　　又∠B=∠ACB=∠E