中学数学竞赛讲座及练习第27讲一元二次方程

第二十七讲 一元二次方程 一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法． 　　方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程． 　　一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法． 　　对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即 　 　　当△=0时，方程有两个相等的实数根，即 　 　　当△＜0时，方程无实数根． 　　 　　分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解． 　　 　 　　因为 　　 　　所以 　　 　　　 　　例2 解关于x的方程： 　　x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0． 　　解 用十字相乘法分解因式得 　　[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0， 　　所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)． 　　例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值． 　　解 由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得 (20002x+1)(x-1)=0， 　　 (x+1999)(x-1)=0， 　　故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以 α-β=1-(-1999)=2000． 　　例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)． 　　分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为 3x-1=4x+1， 　　所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下． 　　解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0， 　　(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0， 　　(x-1)(x+2)=0， 　　所以 x1=1，x2=-2． 　　例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0． 　　分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义． 　　解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)． 　　所以原方程的根为x1=4