3.1.2 椭圆的简单几何性质-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2 椭圆的简单几何性质 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中x,y的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用 3. 课堂知识小结 4. 考点巩固提升 知识归纳 椭圆的简单几何性质 椭圆：的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： 　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；； 　　（2）；；； 　　（3）；；； 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 短轴的长    长轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a ( 考点讲解 ) 考点1：求椭圆焦点,焦距 例1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________. 【方法技巧】 求出椭圆焦点坐标，用三角换元法表示点坐标，计算距离的积，利用三角函数性质得取值范围． 【变式训练】 【变式1】．椭圆的焦点坐标是______． 【变式2】．椭圆的焦点为､，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则是的___________倍. 【变式3】．已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点在椭圆C的第一象限上，交于点E，直线交轴于点，且，则______． 考点2：求共焦点的椭圆方程 例2．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 根据共焦点，设出椭圆方程，代入点的坐标，求出. 【变式训练】 【变式1】．若椭圆与椭圆焦点相同，则实数___________. 【变式2】．求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. 考点3：椭圆中x,y的取值范围 例3．已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围． 【方法技巧】 利用两点间距离公式及椭圆方程可得，再利用椭圆的有界性即求. 【变式训练】 【变式1】．点F是椭圆的一个焦点，PQ是过椭圆中心O的一条弦，则△PQF的面积的最大值是（其中）（       ） A． B．ab C．ac D．bc 【变式2】．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________. 【变式3】．已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：． 考点4：椭圆的对称性 例4．椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【方法技巧】 令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答. 【变式训练】 【变式1】．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（       ） A． B． C． D． 【变式2】．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，则满足为直角三角形的点有（       ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个