3.1.1 椭圆及其标准方程-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 考点分析及解题方法归纳：考点包含：椭圆定义及辨析;判断是否为椭圆;利用椭圆定义求方程;椭圆中焦点三角形周长问题;椭圆中焦点三角形面积问题;椭圆中焦点到定点的和、差距离和最值;根据椭圆方程求参数;椭圆的轨迹问题 2. 课堂知识小结 3. 考点巩固提升 知识归纳 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 　注意：若，则动点的轨迹为线段； 　　　　　若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 　　3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， ( 考点讲解 ) 考点1：椭圆定义及辨析 例1．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个焦点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ） A．－4 B．－3 C． D．－2   【方法技巧】 根据椭圆的定义，结合勾股定理、圆的性质、锐角三角函数定义、斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【变式训练】 1．已知椭圆的左､右焦点分别为，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则___________. 2．若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______． 3．若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程． 考点2：判断是否为椭圆 例2．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是______． 【方法技巧】 根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【变式训练】 1．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）在曲线中，（    ） A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆 B．当时，则曲线C为椭圆 C．曲线C关于直线对称 D．当时，则曲线C的焦距为 3．“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件． 考点3：利用椭圆定义求方程 例3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【方法技巧】 由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出点轨迹是椭圆，然后可求得其方程． 【详解】设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为、， 【变式训练】 1．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为______． 考点4：椭圆中焦点三角形周长问题 例4．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______． 【方法技巧】 首先得到椭圆的焦点坐标，即可判断直线过左焦点，再根据椭圆的定义计算可得； 【变式训练】 1．经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______． 2．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 考点4：椭圆中焦点三角形面积问题 例4．已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________ 【方法技巧】 由椭圆方程可得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果. 【变式训练】1．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且