3.2函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性 第一部分 函数的奇偶性 一、奇偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 1、 函数的奇偶性常用结论 1、 奇偶函数定义的等价形式 ①f－x＝fx⇔f－x－fx＝0⇔＝1⇔fx为偶函数； ②f－x＝－fx⇔f－x＋fx＝0⇔＝－1⇔fx为奇函数. 2、如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2、 函数的奇偶性常见题型 （1） 函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 跟踪练习 1、下列函数中为偶函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋ 2、函数f(x)＝－x的图像(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 3、已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞) 4、设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 5、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是(　　) A．y＝－|f(x)|　　　 B．y＝xf(x2) C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x) 6、已知函数f(x)＝，则函数f(x)(　　) A．既是奇函数也是偶函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是奇函数，但不是偶函数 D．是偶函数，但不是奇函数 7、已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，