(普查练习)第50课 几何概型-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第50课 几何概型 普查与练习50　　　　几何概型 1．与长度、角度有关的几何概型 (1)(2020贵州模拟，5分)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为6∶35，6∶50，7∶05，小明同学在6∶40至7∶05之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(　C　) A. B. C. D. 解析：由题意知，小明到达起点站的时间总长度为25分钟． 当他到达时间在6∶45—6∶50或7∶00—7∶05时等车时间不超过5分钟，则等车时间不超过5分钟的时间长度之和为10分钟，故所求概率P＝＝.故选C. (2)(2021全国Ⅱ，5分)在区间中随机取1个数，则取到的数小于的概率为(　B　) A. B. C. D. 解析：设Ω＝“区间中随机取1个数”，则其对应集合为 ，区间长度l(Ω)＝； 设A＝“取到的数小于”， 则其对应集合为，区间长度l(A)＝， 所以P(A)＝＝＝.故选B. (3)(经典题，5分)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，AD为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则射线AP与线段BC有公共点的概率是____． 解析：由题意知，本题是一个几何概型，试验的所有结果所构成的区域为∠BAD＝90°． 如图，连接AC，交弧于P. ∵tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30°. 由题意知，当射线AP在∠CAB内或与∠CAB的边重合时，射线AP与线段BC有公共点， ∴射线AP与线段BC有公共点的概率P＝＝. 2．与面积有关的几何概型 a．与平面图形的面积有关的几何概型 (4) (2021贵州模拟，5分)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，清代陆以湉在《冷庐杂识》中写道：“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．”七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC的中点．若在正方形ABCD中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率为(　C　) A. B. C. D. 解析：标记各点如图． 设正方形EFGH的边长为1，则等腰直角△EFM，△GHC的直角边长为1，斜边长为， ∴等腰直角△EBC的直角边长为2，斜边BC＝2， ∴S△EBC＝×2×2＝2，S正方形ABCD＝(2)2＝8. ∵E为AC的中点，CE＝2，ME＝1，∴AM＝1. ∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝. ∵四边形AMFN是平行四边形，MF＝， ∴AN＝MF＝，∴S平行四边形AMFN＝×1·sin＝1， ∴S阴影＝S△EBC＋S平行四边形AMFN＝2＋1＝3， ∴点落在阴影部分的概率为＝.故选C. b．与线性规划交汇的几何概型 (5)(2021全国Ⅱ，5分)在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为(　B　) A. B. C. D. 解析：设从区间(0，1)，(1，2)中随机取出的数分别为x，y，则试验的所有结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|0<x<1，1<y<2}，其面积为SΩ＝1×1＝1； 设事件A表示两数之和大于，则事件A构成的区域为{(x，y)|0<x<1，1<y<2，x＋y>}，即图中的阴影部分，其面积为S阴影＝1－××＝，所以P(A)＝＝.故选B. c．与定积分交汇的几何概型 (6)(2020安徽模拟，5分)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于____． 解析：由已知得阴影部分面积为4－∫x2dx＝4－x3|＝4－×(8－1)＝，所以此点取自阴影部分的概率等于＝. 3．与体积有关的几何概型 (7)(2020江西南昌模拟，5分)圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍，O是圆柱中轴线的中点，则在圆柱内任取一点P，使|PO|≤r的概率为(　C　) A. B. C. D. 解析：设圆柱的高为h， 根据题意知圆柱的底面积S底＝πr2，侧面积S侧＝2πr·h. 因为圆柱侧面积是底面积的4倍，所以2πr·h＝4πr2， 所以h＝2r， 所以圆柱的体积V＝πr2×h＝2πr3. 若|PO|≤r，则P在以O为球心，r为半径的球内，且球在圆柱体内部，球的体积V′＝， 故所求概率P＝＝＝. 故选C. 4．与随机模拟相关的几何概型 (8)(经典题，5分)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　C　) A. B. C. D. 解析：