(普查练习)第33课 空间几何体的表面积与体积-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第33课 空间几何体的表面积与体积 普查与练习33　　　　空间几何体的表面积与体积 1．空间几何体的表面积 a．简单几何体的表面积 (1)(2023改编，6分)如图所示，斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，侧面ABB1A1⊥平面ABCD，AB＝AA1＝4，∠A1AB＝60°，AD＝3，求斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的表面积． 答案：48＋16 解析：解：因为平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面ABB1A1.(2分) 又A1A⊂平面ABB1A1，所以A1A⊥AD， 所以平行四边形ADD1A1为矩形． 因为AD＝3，AA1＝4，所以S矩形ADD1A1＝AD·AA1＝3×4＝12. 又四边形ABCD是矩形，AB＝4， 所以S矩形ABCD＝AD·AB＝3×4＝12.(4分) 又四边形ABB1A1为平行四边形，∠A1AB＝60°， 所以S▱ABB1A1＝AB·AA1·sin∠A1AB＝4×4×sin60°＝8， 所以斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的表面积S＝2(S矩形ADD1A1＋S矩形ABCD＋S▱ABB1A1)＝2×(12＋12＋8)＝48＋16.(6分) (2)(2021全国Ⅰ，5分)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__39π__． 解析：如图．∵V＝π×62·h＝30π，∴h＝， ∴l＝＝＝， ∴S侧＝πrl＝π×6×＝39π.故答案为39π. (3)(2021新高考Ⅱ，5分)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为(　C　) A．26%　 B．34%　 C．42%　 D．50% 解析：设观测点为A，卫星为P. 如图，在平面AOP上，过点P作圆O的切线，切点为M，N. 要使在A点能直接观测到P，则A在劣弧上， 所以∠AOP≤∠MOP＝α， 所以cosα＝cos∠MOP＝＝＝＝. 因为地球的表面积S′＝4πr2， 所以＝＝＝≈42%.故选C. b．组合体的表面积 (4)(2021福建南平期中，5分)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　D　) A．4π B．(4＋)π C．6π D．(5＋)π 解析：由题意可知，该几何体的直观图如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后形成的几何体．圆柱的侧面积为S1＝2π×1×2＝4π，圆柱的底面积为S2＝π×12＝π.圆锥母线长为＝，圆锥的侧面积为S3＝×2π×1×＝π，则该几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝(5＋)π.故选D. (5)(2023改编，5分)如图所示，该几何体是由一个棱长为2的正方体和一个半圆柱组成的，其中正方体的上半部分挖去一个半球体，则该几何体的表面积为__20＋4π__． 解析：由题意可知，半球体的半径与半圆柱的底面半径都为r＝1，正方体的棱长与半圆柱的高都为a＝2，故该几何体的表面积为S＝5a2－πr2＋×4πr2＋×2πr×a＋πr2＝5×22＋×4π×12＋×2π×1×2＝20＋4π. 2．空间几何体的体积 a．直接法求几何体的体积 (6)(2021北京，4分) 对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这一天降雨属于哪个等级(　B　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 解析：由题意可知，在一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满了一个底面半径为×＝50(mm)，高为150 mm的圆锥，所以积水厚度d＝＝＝12.5(mm)，属于中雨．故选B. (7)(2021全国Ⅰ节选，6分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.求三棱锥F－EBC的体积． 答案： 解析：解：由题意可得，BB1⊥A1B1，BF⊥A1B1，且BB1∩BF＝B，BF，BB1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1. 因为AB∥A1B1，