(普查练习)第2课 命题及其关系、充分条件与必要条件-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第2课 命题及其关系、充分条件与必要条件 普查与练习2　　　　命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题及其关系 a．命题真假的判断 (1)(2018北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是__f(x)＝sinx__． 解析：答案不唯一，如f(x)＝sinx, f(x)＝－x(x－3)等． (2)(2021山东聊城模拟，5分)如图所示，平面中两条直线l1与l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1与l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题： ①“距离坐标”为(1，0)的两点间距离为2； ②若p＝q，则点M的轨迹是一条过O点的直线； ③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个； ④若直线l1与l2的夹角是60°，则|OM|＝或|OM|＝. 其中所有真命题的序号为__③④__． 解析：①∵点的“距离坐标”为(1，0)，∴点到直线l1的距离为1，点到直线l2的距离为0，即点在直线l2上． 在直线l2上画出点P1，P2(P1，P2到直线l1的距离均为1，即|P1A1|＝|P2A2|＝1)，如图1所示． 图1 由图可知|OP1|≥1，|OP2|≥1，当l1，l2互相垂直时等号成立， ∴|P1P2|≥1＋1＝2，故①错误． ②若p＝q，则M在直线l1，l2相交所成角的平分线上， ∴点M的轨迹是两条过O点的直线，故②错误． ③如图2，作到直线l1距离为p的两条平行线，作到直线l2距离为q的两条平行线， 则四条直线的交点即为“距离坐标”为(p，q)的点，有且仅有4个，故③正确． 图2 ④当直线l1与l2的夹角是60°时，直线l1与l2的位置如图3所示． 图3 以直线l2为x轴，垂直于l2的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则l1：y＝x，l2：y＝0. 设M(x，y)，则p＝，q＝|y|， ∴y＝±q，x＝，|OM|2＝x2＋y2＝(y±2p)2＋q2， ∴|OM|2＝(p2＋pq＋q2)或|OM|2＝(p2－pq＋q2)， ∴|OM|＝或|OM|＝，故④正确．故答案为③④. b．四种命题的关系及真假判断 (3)(2023改编，9分)写出命题“若x2－5x＋6≠0，则x≠3且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 答案：见解答过程 解析：解：∵原命题是“若x2－5x＋6≠0，则x≠3且x≠2”，∴它的逆命题是“若x≠3且x≠2，则x2－5x＋6≠0”，是真命题；(3分) 否命题是“若x2－5x＋6＝0，则x＝3或x＝2”，是真命题；(6分) 逆否命题是“若x＝3或x＝2，则x2－5x＋6＝0”，是真命题．(9分) (4)(2020广东广州期末，5分)命题“若{an}是等比数列，则＝ (n>k且n，k∈N* )”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为(　A　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：若{an}是等比数列，则an为an－k与an＋k的等比中项，则＝成立(n>k且n，k∈N* )，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题． 若＝ (n>k且n，k∈N* )，令k＝1，则＝，所以{an}是等比数列，所以原命题的逆命题为真命题，则原命题的否命题为真命题．故选A. 2．充分条件与必要条件 a．充分条件与必要条件的判断 (5)(2023汇编，23分)下列各题是关于充分条件与必要条件的判断，请从所给的四个选项中选出正确的答案． ①已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　A　)(2021天津) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 ②已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　A　)(2021北京，4分) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ③等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　B　)(2021全国Ⅰ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ④已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　B　)(2021浙江，4分) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ⑤若将函数f(x)＝sin(ω>0)的图像向左平移φ个单位长度得到函数g(x)的图像，则“ω＝”是“g(x)为偶函数”的(　D　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条