(普查练习)第13课 导数的概念及其运算-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第13课 导数的概念及其运算 普查与练习13　　　　导数的概念及其运算 1．导数的运算 (1)(2023汇编，16分)求下列函数的导数： ①y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； 答案：y′＝3x2＋12x＋11 解：y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.(2分) ②y＝exsinx； 答案：y′＝ex(sinx＋cosx) 解：y′＝(exsinx)′＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．(4分) ③y＝＋； 答案：y′＝ 解：y＝＋＝＝＝－2， ∴y′＝.(6分) ④y＝－sin； 答案：y′＝cosx 解：y＝－sin·＝sinx， ∴y′＝cosx.(8分) ⑤y＝ln； 答案：y′＝ 解：y＝lnx－ln(1＋2x)， ∴y′＝－(1＋2x)′＝－＝＝.(10分) ⑥y＝； 答案：y′＝ 解：y＝＝. 令y＝，u＝1－2x，　∴u′x＝－2. ∴y′＝y′u·u′x＝－·(－2)＝－·(－2)＝.(12分) ⑦y＝； 答案：y′＝ 解：y′＝＝＝.(14分) ⑧y＝ln|x|. 答案：y′＝ 解：y＝ 当x>0时，y′＝(lnx)′＝； 当x<0时，y′＝[ln(－x)]′＝＝. 综上所述，y′＝.(16分) (2)(2020全国Ⅲ，5分)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝__1__． 解析：∵函数f(x)＝，∴f′(x)＝， ∴f′(1)＝. 又∵f′(1)＝， ∴＝，解得a＝1. 故答案为1. 2．导数的几何意义及其应用 a．求切线方程 (3)(2019全国Ⅱ，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　C　) A．x－y－π－1＝0　　　　　　 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 解析：由y＝2sinx＋cosx，得y′＝2cosx－sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，∴曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0. 故选C. (4)(2021全国Ⅱ节选，6分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标． 答案：(1，a＋1)和(－1，－1－a) 解：设切点坐标为(x0，f(x0))，由题意可得f(x0)＝x－x＋ax0＋1，f′(x0)＝3x－2x0＋a， 则切线方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)． 因为切线过坐标原点，所以0－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(0－x0)，(2分) 整理可得2x－x－1＝0，即(x0－1)(2x＋x0＋1)＝0， 解得x0＝1， 则f(x0)＝f(1)＝1－1＋a＋1＝a＋1, f′(x0)＝f′(1)＝1＋a， 所以切线方程为y＝(a＋1)x.(4分) 将切线方程与y＝x3－x2＋ax＋1联立，得x3－x2＋ax＋1＝(a＋1)x， 化简得x3－x2－x＋1＝0， 即(x－1)2(x＋1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1. 易得f(－1)＝－1－a， 所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，a＋1)和 (－1，－1－a)．(6分) 变式训练 (2021广东佛山模拟，5分)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋x，则曲线f(x)所有的切线中斜率最小的切线方程为__6x－2y－3＝0__． 解析：曲线f(x)的切线斜率最小，即函数f(x)的导数最小． 函数f(x)＝lnx＋x2＋x(x＞0)的导数为f′(x)＝＋x＋1(x＞0)． ∵x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立， ∴f′(x)的最小值为f′(1)＝3. 又∵当x＝1时，f(1)＝， ∴曲线f(x)所有切线中斜率最小的切线方程为y－＝3(x－1)，即6x－2y－3＝0. b．求切点坐标 (5)(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是__(e，1)__． 解析：设A(x0，lnx0)(x0>0)，由y＝lnx，得y′＝(x>0)， ∴＝，则该曲线在点A处的切线方程为y－lnx0＝(x－x0)． ∵切线经过点(－e，－1)，∴－1－lnx0＝－－1，即lnx0＝. 构造函数g(x)＝lnx－，显然g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(e)＝0， ∴g(x0)＝0有唯一实数解x0＝e，∴A点坐标为(e，1)． c．求参数的值 (6)(2023汇编，20分)已知直线l与曲线y＝f(x)相切． ①若直线l：y＝－2x＋，f(x)＝x3－