专题05 函数的性质（2）-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题05 函数的性质（2） 一、真题剖析 【2022年全国乙卷】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ） A． B． C． D． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抽象函数为载体，考查函数的对称性。 【必备知识】本题考考查函数的对称性综合应用。 【能力素养】本题考查运算求解能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索，本题解题的关键是根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【答案】D 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 二、题型选讲 题型一 函数的对称性 函数的对称性要注意一下三点：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 （3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点： （1）可利用对称性求得某些点的函数值 （2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像 （3）极值点关于对称轴（对称中心）对称 （4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同 例1、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知是定义在上的函数，满足，，若，则 （ ） A. B. 50 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出函数的对称轴，对称中心，周期性为，根据求出，计算即可求解. 【详解】因为满足，所以图象关于对称， 由可得，所以图象关于点中心对称，由可得，所以，可得，所以是周期为的函数， 因为，可得，令可得，可得，所以，，所以， 因为，所以，故选：C. 变式1、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且，则______． 【答案】3 【解析】 因为的图象关于直线对称， 所以 的图象关于轴对称，所以为偶函数， 令则，所以， 又，则 ,所以周期为6， 所以, 故答案为：3 变式2、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】是定义在上的奇函数， 的图像关于直线对称， ， ， 是周期为的周期函数， . 故选:C. 题型二 单调性与奇偶性的结合 例2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D． 变式1、（2022·江苏如东·高三期末）已知函数，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（ ） A．(1，＋∞） B． C． D．(－∞，1) 【答案】B 【解析】的定义域满足，由， 所以在上恒成立. 所以的定义域为 则 所以，即为奇函数. 设，由上可知为奇函数. 当时，，均为增函数，则在上为增函数. 所以在上为增函数. 又为奇函数，则在上为增函数，且 所以在上为增函数. 又在上为增函数，在上为减函数 所以在上为增函数，故在上为增函数 由不等式，即 所以，则 故选：B 变式2、(2022·江苏无锡期中)已知函数y＝f(x)的图象与函数的图象关于直线y＝x对称，函数g(x)是奇函数，且当x＞0时，g(x)＝f(x)＋x，则g(－4)＝( ) A．－18 B．－12 C．－8 D．－6 【答案】D 【解析】由题意可知，y＝f(x)＝log2x，当x＞0时，g(x)＝f(x)＋x＝log2x＋x，则g(4)＝log24＋4＝6，因为函数g(x)是奇函数，所以g(－4)＝－g(4)＝－6，故答案选D． 变式3、（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为， 所以为奇函数， 因为， 所以上单调递增， 由， 得， 所以， 即，， 因为在R上是增函数，所以，故A正确； 因为在上是增函数，所以，故C正