培优专题01 借助数轴将数与形结合-【核心考点突破】2022-2023学年七年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题01 借助数轴将数与形结合 【专题精讲】 在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在以下几个方面： (1)利用数轴能形象地表示有理数； (2)利用数轴能直观地解释相反数; (3)利用数轴比较有理数的大小; (4)利用数轴解决与绝对值相关的问题; (5)巧用数轴可以探究动点的规律; (6)应用数轴解决行程问题 ◎类型一：利用数轴比较有理数的大小 解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数 表示在数轴上,由相对位置得出大小. 1．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）在数轴上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来． 【答案】数轴见解析，-3＜-1＜-＜0＜2.5＜3.5 【分析】先分别把各数在数轴上找出对应的点，再按从左到右的顺序排列即可． 【详解】解：在数轴上表示出来如图所示． 根据这些点在数轴上的排列顺序，从左至右分别用“＜”连接为： -3＜-1＜-＜0＜2.5＜3.5． 【点睛】本题考查了数轴，利用数轴比较有理数的大小，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2．（2021·江苏盐城·七年级期中）已知一组数：  ，  0 ，  －3.5，  3，   ． (1)把这些数在下面的数轴上表示出来： (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）． ． 【答案】(1)见解析 (2)﹣3.5< < 0 <<3 【分析】（1）将数准确在数轴上表示出来，注意正负号； （2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可． （1） 解：如图所示， ； （2） 顺序为：． 【点睛】本题主要考查的是数轴表示数，重点在于准确将数在数轴上表示出来，注意符号． 3．（2021·辽宁·彰武县第三初级中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：，并用“<”把这些数连接起来． 【答案】数轴上表示各数见解析； 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可． 【详解】解：如图所示： 用“<”符号连接为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题的关键． 4．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”号连接． 【答案】见解析， 【分析】根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的数；数轴正方向朝右，右边的数总比左边的大，并用“<”号连接起来即可． 【详解】如图所示： 根据上图可知：． 【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题关键． ◎类型二：利用数轴表示相反数、绝对值 解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。 5．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8 (1)写出点A和点B表示的数； (2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数； (3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数． 【答案】(1)A表示-3，B表示3 (2)-6.5 (3)1 【分析】(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的数减去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即可得到答案． （1）∵A对应刻度2，B对应刻度8，∴，∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，∴A表示-3，B表示3； （2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，∴C表示的数为； （3）因为点D到A的距离为2，所以点D表示的数为-1和-5．因为点D到B的距离为4，所以点D表示的数为-1和7．综上，点D表示的数为-1．所以点D关于原点对称的点表示的数为1． 【点睛】此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律是解题的关键． 6．（2021·全国·七年级专题练习）如图．在一条不完整的数轴上