专题04 解不等式及不等式恒成立-【巅峰课堂】2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题4 解不等式及不等式恒成立 目录 一、热点题型归纳 【题型一】解一元一次 不等式 1 【题型二】一元二次不等式 3 【题型三】解分式不等式 6 【题型四】绝对值不等式 7 【题型五】不等式的整数解 8 【题型六】不等式组求参 10 【题型七】 恒成立求参：一元二次讨论型 12 【题型八】 恒成立求参：均值型 13 【题型九】恒成立求参：绝对值型 14 【题型十】恒成立：分离常数型 15 【题型十一】恒成立：分类讨论 16 培优第一阶——基础过关练 18 培优第二阶——能力提升练 20 培优第三阶——培优拔尖练 23 【题型一】解一元一次 不等式 【典例分析】 （2021·全国·高一课时练习）设a、b为实数，解关于x不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】将不等式化为，讨论、的取值，利用一元一次不等式的解法即可求解. 【详解】． ①当时，解为； ②当时，解为； ③当，时，解为； ④当，时，无解． 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当，时，不等式解集为； 当，时，解集为. 【提分秘籍】 基本规律 1.形如，为一次函数,图形为直线，k>0，增，k<0为减，k=0为水平线（常数函数） 2.一元一次不等式，如果一次项系数有参数，需要分类讨论 【变式训练】 1.（2022·全国·高一专题练习）若是关于x的不等式的一个解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】直接把代入即可解得. 【详解】是关于x的不等式的一个解，，解得：． 故答案为： 2.（2021·全国·高一课时练习）若关于的不等式的整数解共有个，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】解出不等式组，然后根据整数解共有4个来确定m的范围﹒ 【详解】 由①得，，由②得，， ∴不等式组的解集是 ∵不等式的整数解共有4个， ∴﹒ 3.（2022·广东·深圳市第二高级中学高一开学考试）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数过点可得，再根据一元一次不等式的解法即可得解. 【详解】解：因为一次函数的图象过点， 所以，即， 则不等式，即为， 又，所以，所以.故选：C. 【题型二】一元二次不等式 【典例分析】 （2022·全国·高一专题练习）已知不等式的解为，求和的值，并解不等式． 【答案】，；不等式的解集为 【分析】利用根与系数关系求得，根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】依题意，和是方程的两根， 所以，解得，. 不等式，即，即， ，解得或， 所以不等式的解集为. 【提分秘籍】 基本规律 一元二次函数知识： ①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋. ②顶点是，对称轴是：x＝－. ③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝ 是方程的两个根.一元二次不等式的解集为或，也就是我们俗称的“两根之间或者大于大根小于小根” 【变式训练】 1.（2022·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0． (1)当a＝2时，解关于x的不等式； (2)当a＞0时，解关于x的不等式． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果； （2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集． （1） 当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0， ∴不等式的解集为； （2） 不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0， 当a＞0时，， 的根为：， ①当时，，∴不等式解集为， ②当时，，不等式解集为∅， ③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}， 综上，当时，不等式解集为， 当a时，不等式解集为， 当时，不等式解集为{x|x＜1}．2. 2.（2021·黑龙江·大庆中学高二开学考试）已知关于x的不等式的解集为或． (1)求a，b的值． (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1). (2)时，不等式的解集为：； 时，不等式的解集为：， 时，不等式的解集为：. 【分析】（1）结合根与系数关系可直接求解； （2）将a，b代入不等式化简得， 分类讨论参数与2的关系即可求解. （1）因为的解集为或，所以，解得 （2）因为的解集为或，所以，解得, 代入得：，即，所以当时，不等式的解集为：， 当 时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：. 3.（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式 【答案】答案不唯一，具体见解析 【分析】原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式 【详解】解：关于x的不等式可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当