第7期 直线的交点坐标与距离公式-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

书 Ａ组 一、单项选择题 １～４　ＤＡＣＡ　５～８　ＤＣＢＤ 二、填空题 ９．２；　１０．２ｘ－ｙ＝０或ｘ＋ｙ－３＝０． 三、解答题 １１．解：（１）直线经过点Ｐ（－槡３，２），斜率为ｔａｎ１２０° ＝－槡３，代入点斜式方程得ｙ－２＝－槡３（ｘ＋槡３）， 所以直线的一般式方程为槡３ｘ＋ｙ＋１＝０． （２）直线经过点Ａ（－１，０）和Ｂ（２，－３）， 代入两点式方程得 ｙ－０ （－３）－０＝ ｘ－（－１） ２－（－１）， 所以直线的一般式方程为ｘ＋ｙ＋１＝０． １２．解：由题意知截距不为０， 设所求直线方程为 ｘ ａ＋ ｙ ｂ ＝１． 因为点Ａ（－２，２）在直线上，故有－２ａ ＋ ２ ｂ＝１． ① 又因为直线与坐标轴围成三角形的面积为１， 所以 １ ２｜ａ｜｜ｂ｜＝１． ② 联立①②可解得 ａ＝２， ｂ＝{ １或 ａ＝－１， ｂ＝－２{ ． 故所求直线的方程为 ｘ ２＋ ｙ １ ＝１或 ｘ －１＋ ｙ －２＝１， 即ｘ＋２ｙ－２＝０或２ｘ＋ｙ＋２＝０． １３．解：（１）当直线过原点时，该直线在ｘ轴和ｙ轴上 的截距为０，显然相等．所以ａ＝２，方程即为３ｘ＋ｙ＝０． 当直线不过原点时，由截距存在且均不为０， 得 ａ－２ ａ＋１＝ａ－２，即ａ＋１＝１， 所以ａ＝０， 方程即为ｘ＋ｙ＋２＝０． 综上，ｌ的方程为３ｘ＋ｙ＝０或 ｘ＋ｙ＋２＝０． （２）将ｌ的方程化为 ｙ＝－（ａ＋１）ｘ＋ａ－２， 由题意得 －（ａ＋１）＞０， ａ－２≤{ ０ 或 －（ａ＋１）＝０， ａ－２≤０{ ． 所以ａ≤－１，综上可知ａ的取值范围是（－∞，－１］． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＤ；　２．ＡＣ；　３．ＡＣＤ；　４．ＡＣＤ． 二、填空题 ５．（２，３）；　６．８． 三、解答题 ７．解：（１）因为直角△ＡＢＣ的直角顶点为Ｂ（１，槡３）， 所以ＡＢ⊥ＢＣ，故ｋＡＢ·ｋＢＣ ＝－１． 又因为Ａ（－２，０），所以ｋＡＢ ＝槡 ３－０ １＋２ ＝ 槡３ ３， 从而ｋＢＣ ＝－ １ ｋＡＢ ＝－槡３， 所以边ＢＣ所在直线的方程为ｙ－槡３＝－槡３（ｘ－１）， 即槡３ｘ＋ｙ－ 槡２３＝０． （２）因为直线ＢＣ的方程为槡３ｘ＋ｙ－ 槡２３＝０， 点Ｃ在ｘ轴上，由ｙ＝０，得ｘ＝２，即Ｃ（２，０）， 所以斜边ＡＣ的中点为（０，０）， 故Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边中线为ＯＢ（Ｏ为坐标原点）． 设直线ＯＢ的方程为ｙ＝ｋｘ， 将Ｂ（１，槡３）代入，得ｋ＝槡３， 所以Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边中线ＯＢ所在直线的方程为 ｙ＝槡３ｘ． ８．解：建立如右图所示的平 面直角坐标系，在线段ＥＦ上任取 一点Ｑ，分别向ＢＣ，ＣＤ作垂线． 由题意，直线ＥＦ的方程为 ｘ ３０＋ ｙ ２０＝１． 设 (Ｑ ｘ，２０－２３ )ｘ ， 则长方形ＰＱＲＣ的面积为 Ｓ＝（１００－ｘ [） ８０ (－ ２０－２３ ) ]ｘ ， ＝－２３ｘ ２＋２０３ｘ＋６０００（０≤ｘ≤３０）， 易得ｘ＝５时，Ｓ最大，即草坪的占地面积最大． ９．解：（１）由（ａ＋１）ｘ＋ｙ－５－２ａ＝０得： 当ｘ＝０时，ｙＢ ＝５＋２ａ，当ｙ＝０时，ｘＡ ＝ ５＋２ａ ａ＋１， 又由 ｙＢ ＝５＋２ａ＞０， ｘＡ ＝ ５＋２ａ ａ＋１＞０ { ，得ａ＞－１， 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２·（５＋２ａ）· ５＋２ａ ａ＋１ ＝ [１２ ４（ａ＋１）＋ ９ａ＋１＋ ]１２ ≥ [１２ ２ ４（ａ＋１）· ９ａ＋槡 １＋ ]１２ ＝１２， 当且仅当４（ａ＋１）＝ ９ａ＋１，即ａ＝ １ ２时，取等号． 所以Ａ（４，０），Ｂ（０，６）， 所以△ＡＯＢ的周长为 ＯＡ＋ＯＢ＋ＡＢ＝４＋６＋ ４２＋６槡 ２ ＝１０＋ 槡２ １３． （２）直线ｌ在两坐标轴上的截距均为整数， 即５＋２ａ，５＋２ａａ＋１均为整数， 因为 ５＋２ａ ａ＋１＝２＋ ３ ａ＋１，所以ａ＝－４，－２，０，２， 又当ａ＝－５２时， 直线ｌ在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意， 所以直线ｌ的方程为３ｘ－ｙ－３＝０或ｘ－ｙ＋１＝０或 ｘ＋ｙ－５＝０或３ｘ＋ｙ－９＝０或３ｘ－２ｙ＝０． 本期新知导学参考答案 ①交点的坐标　②相交　③交点的坐标　 ④无公共点　⑤平行 ⑥｜Ｐ１Ｐ２｜＝ （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２ ⑦｜ＯＰ｜＝ ｘ２＋ｙ槡 ２ ⑧ｄ＝ ｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ｜ Ａ２＋Ｂ槡 ２ ⑨ｄ＝ ｜Ｃ１－Ｃ２｜ Ａ２＋Ｂ槡 ２ 书 编者按：直线方程知识在解决实际问题中有着十分 重要的用途，有一些日常生活中的问题也可转化为数学 问题，应用直线方程知识来解决．请看以下几例． 一、木工画线 例１有一个长为３ｍ、宽为２ｍ 但缺一角Ａ的长方形木板，如图１ 所示，ＥＦ是直线段，ＡＥ＝０．２ｍ，ＡＦ ＝０．５ｍ．现在木工师傅要过ＢＣ的 中点Ｍ作 ＥＦ延长线的垂线，而专 用的直角尺子的长度不够，请你帮助木工师傅画这条 线