第6期 直线的方程-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

书 “三点共线”是解析几何中常见的问题，这类问题比 较简单，直观地体现了数形结合的思想，解题的思路也 比较广泛，一般先分析解答问题的几何性质，然后再用 代数方法求解． 例 若三点Ａ（３，２），Ｂ（４，５），Ｃ（ａ，－４）在同一条直 线上，则ａ的值为 ． 解法一：（斜率法） 因为Ａ（３，２），Ｂ（４，５），Ｃ（ａ，－４）三点共线， 所以ｋＡＢ ＝ｋＡＣ，则 ５－２ ４－３＝ －４－２ ａ－３，解得ａ＝１． 解法回眸：本题是逆向思维型题，即已知“三点共线 求参数”，其解答过程一般要体现方程思想的应用．本解 法的依据是：“若Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则任意两点确定的斜 率均等于直线的斜率”． 解法二：（验证方程法） 因为Ａ（３，２），Ｂ（４，５）， 则直线ＡＢ的方程为ｙ－２＝５－２４－３（ｘ－３）， 即ｙ＝３ｘ－７． 又由条件易知点Ｃ在直线ＡＢ上， 故 －４＝３ａ－７，解得ａ＝１． 解法回眸：本解法的原理是：“若 Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线， 则点Ｃ的坐标满足由 Ａ，Ｂ两点确定的直线方程”．其解 答过程主要分两步完成：（１）求已知两点确定的直线方 程；（２）将坐标中含有参数的点代入直线方程，并通过解 方程求参数的值． 解法三：（直线重合法） 因为Ａ（３，２），Ｂ（４，５）， 所以直线ＡＢ的方程为ｙ＝３ｘ－７． 又因为Ａ（３，２），Ｃ（ａ，－４）， 则直线ＡＣ的方程为ｙ＝ －６ａ－３ｘ＋ ２ａ＋１２ ａ－３． 由条件知直线ＡＢ与直线ＡＣ为同一直线， 所以 －６ ａ－３＝３，且 ２ａ＋１２ ａ－３ ＝－７，解得ａ＝１． 解法回眸：本解法是根据Ａ，Ｂ两点确定的直线与Ａ， Ｃ两点确定的直线重合，利用两条直线的斜率相等且截 距相等来求解的．其解答过程分两步完成：（１）由三点中 任意两点求两条直线方程；（２）根据两条直线重合的条 件求得参数的取值． 书 问题：直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋３ｋ－２与线段ｙ＝－１４ｘ＋１（０ ≤ｘ≤４）有公共点，求实数ｋ的取值范围． 解析：先求线段的端点： 当ｘ＝０时，ｙ＝１，得Ｂ（０，１）； 当ｘ＝４时，ｙ＝０，得Ａ（４，０）． 直线ｌ恒过点Ｐ（－３，－２），且 ｋ为直线ｌ的斜率，如图１所示．当 直线ｌ过点Ａ时，斜率ｋ取得最小 值，当直线ｌ过点Ｂ时，斜率ｋ取得 最大值． 由斜率公式得 ｋＰＡ ＝ ０－（－２） ４－（－３）＝ ２ ７，ｋＰＢ ＝ １－（－２） ０－（－３）＝１， 故实数ｋ的取值范围为 ２７≤ｋ≤１． 点评：本题的实质是过定点的一系列直线与线段有 公共点时，求斜率的最大值与最小值．当我们认清实质 之后，求解难度不大．如果我们改变定直线的给出方式， 你还能认识此题吗？ 变式一：点（ｘ，ｙ）在线段ｙ＝ｘ（－１≤ｘ≤１）上运 动，求 ｙ＋３ ｘ－５的最大值与最小值． 解析：看看式子 ｙ＋３ ｘ－５，可以把 它认为是连接两点（ｘ，ｙ）与（５， －３）的直线的斜率．而点（ｘ，ｙ） 呢？它在线段ｙ＝ｘ（－１≤ｘ≤１） 上运动，由于此线段的两端点分 别为（－１，－１）与（１，１），于是，此 问题又是过定点（５，－３）的一系列直线问题．易求得 ｙ＋３ ｘ－５的最大值与最小值分别为 － １ ３与 －１． 点评：变式一将直线方程换成了一个式子，对该式 子深入分析时发现了它与原题之间的联系，借助于直线 斜率产生结论．那么，线段会改变吗？ 变式二：点（ｘ，ｙ）在三角形ＡＢＣ的区域内及边界上 运动，又知三角形 ＡＢＣ的三顶点分别为 Ａ（１，２），Ｂ（２， ３），Ｃ（４，１），试求 ｙｘ的最大值与最小值． 解析：画出三角形，如图３． 由于 ｙ ｘ表示两点（ｘ，ｙ）与（０， ０）连线的斜率，而点（ｘ，ｙ）在三角 形ＡＢＣ的区域内及边界上运动，显 然， ｙ ｘ的最大值与最小值分别为２（ｋＯＡ）与 １ ４（ｋＯＣ）． 点评：变式二将线段改成了区域，此时，我们要观察 区域，从区域的特点及待求的式子入手分析，可使结论 产生． 变式三：若１≤ｘ≤２，求ｘ ２＋２ ｘ＋３的最大值与最小值． 解析：还是先观察式子 ｘ２＋２ ｘ＋３，再从斜率的角度，可 以认为式子 ｘ２＋２ ｘ＋３表示两点（ｘ，ｘ ２）与Ｃ（－３，－２）连线 的斜率．那么点（ｘ，ｘ２）具有什么 特点呢？ 可以发现点（ｘ，ｘ２）是函数 ｙ ＝ｘ２图象上的点，又１≤ｘ≤２，画 出图看一下，如图４．显然，ＣＡ的斜 率最小，ＣＢ的斜率最大． 故 ｘ２＋２ ｘ＋３的最大值与最小值分别为 ６ ５与 ３ ４． 点评：此题与前面的变式比较，难度明显增加了，它 不仅要求我们对式子 ｘ２＋２ ｘ＋３能够从斜率的角度进行理 解，还要求我们可以从点（ｘ，ｘ２）看出函数ｙ＝ｘ２，两者缺一 不可． 书 在直线的斜率与方程学习过程中，要注重斜率与直 线方程的相互联系．解题时或借助于数，或借助于形，利 用数形结合的思想方法使问题形