第5期 直线的倾斜角与斜率-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

书 一、倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 １．当直线 ｌ与 ｘ轴相交时，以 ｘ轴为基准，ｘ轴 ① 与直线ｌ② 之间所成的角α叫做直线 ｌ的倾斜角； ２．当直线ｌ与 ｘ轴平行或重合时，规定直线的倾斜 角为③ ； ３．直线的倾斜角α的范围为④ ． （二）直线的斜率 １．若直线的倾斜角 α不是 ９０°，则斜率 ｋ＝⑤ ； ２．若由Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）确定的直线不垂直于ｘ 轴，则ｋ＝⑥ ＝⑦ ； 经典讲解 直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的两个 重要特征，所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线 都有斜率．当倾斜角 α＝ π２时，直线的斜率不存在，此 时直线垂直于ｘ轴（平行于ｙ轴或与ｙ轴重合）． 例１设直线ｌ的斜率为ｋ＝ｌｎ１８，则直线ｌ的倾斜角 α的取值范围是 （　　） （Ａ）９０°＜α≤１８０° （Ｂ）９０°＜α＜１８０° （Ｃ）０°≤α＜９０° （Ｄ）０°＜α＜９０° 解析：因为０＜ １８ ＜１，所以ｋ＝ｌｎ １ ８ ＜０， 所以倾斜角为钝角． 故选（Ｂ）． 点评：当倾斜角０°≤α＜９０°时，斜率ｋ随倾斜角α 的增大而增大，其范围为［０，＋∞）；当倾斜角９０°＜α＜ １８０°时，斜率 ｋ随倾斜角 α的增大而增大，其范围为 （－∞，０）． 二、两条直线垂直和平行的判定 （一）两条直线平行 对于两条不重合的直线 ｌ１，ｌ２，若其斜率分别为 ｋ１， ｋ２，则有ｌ１∥ｌ２⑧ ． 特别地，当直线 ｌ１，ｌ２的斜率都不存在时，亦有 ⑨ ． （二）两条直线垂直 如果两条直线 ｌ１，ｌ２的斜率存在，设为 ｋ１，ｋ２，则有 ｌ１⊥ｌ２⑩ ．特别地，当其中一条直线的斜率 不存在，而另一条直线的斜率为０，亦有瑏瑡 ． 经典讲解 判断两条直线平行、垂直时，不要忘记考虑两条直 线中有一条或两条均无斜率的情形． 例２判断下列直线ｌ１与ｌ２的位置关系． （１）直线ｌ１经过两点Ａ（－３，２），Ｂ（－３，１０），直线ｌ２ 经过两点Ｍ（５，－２），Ｎ（５，５）； （２）直线ｌ１经过两点 Ａ（３，４），Ｂ（３，９９），直线 ｌ２经 过两点Ｍ（－８，４），Ｎ（８，４）． 解析：（１）因为直线ｌ１经过两点Ａ（－３，２），Ｂ（－３， １０），所以直线ｌ１的斜率不存在． 因为直线ｌ２经过两点Ｍ（５，－２），Ｎ（５，５）， 所以直线ｌ２的斜率也不存在． 又直线ｌ１与ｌ２上点的横坐标不相等， 所以直线ｌ１与ｌ２平行． （２）因为直线ｌ１经过两点Ａ（３，４），Ｂ（３，９９）， 所以直线ｌ１的斜率ｋ１不存在． 因为直线ｌ２经过两点Ｍ（－８，４），Ｎ（８，４）， 所以直线ｌ２的斜率ｋ２ ＝０． 由此知直线ｌ１垂直于ｘ轴，直线ｌ２垂直于ｙ轴， 故直线ｌ１与ｌ２垂直． 点评：判断两条直线是否平行，要研究两条直线的 斜率是否相等，同时要注意两条直线的斜率都不存在以 及两条直线重合的情形；判断两条直线是否垂直，要研 究两条直线的斜率是否满足ｋ２＝－ １ ｋ１ ，同时要注意两条 直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为０ 的情形． （参考答案见本期４版） 书 一、单项选择题 １～８　ＣＢＤＡ　ＡＡＢＢ 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＢＣＤ；　１１．ＣＤ；　１２．ＡＣＤ． 三、填空题 １３．π４；　１４．槡３８；　１５．［０，１］；　１６．９０°． 四、解答题 １７．解：（１）→ＡＥ＝ａ＋ｂ＋１２ｃ． （２）ＡＥ的长为 槡３６． １８．解：（１）ｋ＝－１３． （２）ｋ＝７４２７． １９．证明：（１）建立如图１所 示的空间直角坐标系， 设ＡＣ∩ＢＤ＝Ｎ，连接ＮＥ． 则 (Ｎ 槡２２，槡２２，)０ ，Ｅ（０，０，１）， Ａ（槡２，槡２，０）， (Ｍ 槡２２，槡２２， )１ ． 所以→  (ＮＥ＝ －槡２２，－槡２２， )１ ，→ (ＡＭ＝ －槡２２，－槡２２， )１ ． 所以→ →ＮＥ＝ＡＭ且ＮＥ与ＡＭ不共线，所以ＮＥ∥ＡＭ． 因为ＮＥ平面ＢＤＥ，ＡＭ平面ＢＤＥ， 所以ＡＭ∥平面ＢＤＥ． （２）由（１）知→ (ＡＭ＝ －槡２２，－槡２２， )１ ， 因为Ｄ（槡２，０，０），Ｆ（槡２，槡２，１），所以 →  ＤＦ＝（０，槡２，１）， 所以→ＡＭ·→  ＤＦ＝０，所以ＡＭ⊥ＤＦ．同理ＡＭ⊥ＢＦ． 又ＤＦ∩ＢＦ＝Ｆ，所以ＡＭ⊥平面ＢＤＦ． ２０．（１）证明：略． （２）解：以点Ｍ为坐标原点，→ＭＡ方 向为ｘ轴正方向，→ＭＢ方向为ｙ轴正方向 建立如图２所示的空间直角坐标系Ｍ－ ｘｙｚ，则 Ａ（２，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｄ（１，０，１）， →ＭＡ＝（２，０，０），→ＭＢ＝（０，２，０），→ＢＤ＝（１， －２，１），→ → → → →ＭＥ＝ＭＢ＋ＢＥ＝ＭＢ＋ｔＢＤ＝（ｔ，２－２ｔ，ｔ）． 设平面ＡＭＥ的一个法向量为ｍ ＝（ｘ，ｙ，ｚ