第2期 空间向量的应用-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

书 空间中的存在性问题是近几年高考热点题型，如果 用向量的方法求解，便可以使问题化难为易，能够避免 复杂的转化与逻辑推理，可操作性强． 一、解决线线垂直问题 例１如图１，在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为 ＢＣ的中点，ＰＯ ⊥平面ＡＢＣ，垂足 Ｏ落在线段 ＡＤ 上，已知ＢＣ＝８，ＰＯ＝４，ＡＯ＝３， ＯＤ＝２． （１）证明：ＡＰ⊥ＢＣ； （２）在线段ＡＰ上是否存在点Ｍ，使得平面 ＡＭＣ与 平面ＢＭＣ的夹角为９０°？若存在，求出ＡＭ的长；若不存 在，请说明理由． 解：以Ｏ为坐标原点，以ＯＤ， ＯＰ所在的直线分别为ｙ，ｚ轴建立 空间直角坐标系，如图２所示．则 Ｏ（０，０，０），Ａ（０，－３，０），Ｂ（４，２， ０），Ｃ（－４，２，０），Ｐ（０，０，４）． （１）→ＡＰ＝（０，３，４），→ＢＣ＝ （－８，０，０），由此可得→ＡＰ·→ＢＣ ＝０， 所以 →ＡＰ⊥ →ＢＣ，即ＡＰ⊥ＢＣ． （２）假设在线段ＡＰ上存在点Ｍ，设 →ＰＭ＝λ→ＰＡ，λ≠ １，则 →ＰＭ＝λ（０，－３，－４），→ＢＭ＝→ＢＰ＋→ＰＭ＝→ＢＰ＋λ→ＰＡ ＝（－４，－２－３λ，４－４λ），→ＡＣ＝（－４，５，０）． 设平面ＭＢＣ的法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），平面ＡＰＣ 的法向量为ｎ２ ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）． 由 →ＢＭ·ｎ１ ＝０， →ＢＣ·ｎ１ ＝ { ０得 －４ｘ１－（２＋３λ）ｙ１＋（４－４λ）ｚ１ ＝０， －８ｘ１ ＝０ { ， 解得 ｘ１ ＝０， ｚ１ ＝ ２＋３λ ４－４λ ｙ１{ ， 可取ｎ１ ＝ ０，１， ２＋３λ ４－４( )λ． 由 →ＡＰ·ｎ２ ＝０， →ＡＣ·ｎ２ ＝ { ０得 ３ｙ２＋４ｚ２ ＝０， －４ｘ２＋５ｙ２ ＝０ { ， 解得 ｘ２ ＝ ５ ４ｙ２， ｚ２ ＝－ ３ ４ｙ２ { ， 可取ｎ２ ＝（５，４，－３）． 由ｎ１·ｎ２ ＝０得４－３· ２＋３λ ４－４λ ＝０， 解得λ＝ ２５，故ＡＭ ＝３， 综上所述，存在点Ｍ符合题意，ＡＭ的长为３． 点评：对于存在性问题，其一般解法是假设结论成 立，并据此进行演绎推理，若求得相应的量，则表明假设 正确，否则不存在． 二、解决线面垂直问题 例２如图 ３所示，在棱长为 １的正方体 ＡＢＣＤ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ是侧棱ＣＣ１上的一点，ＣＰ＝ｍ． （１）试确定ｍ，使得直线ＡＰ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成角 的正切值为３槡２； （２）在线段Ａ１Ｃ１上是否存在一个定点Ｑ，使得对任 意的ｍ，Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射影垂直于ＡＰ，并证明你 的结论． 解：（１）建立如图４所示的空间直角坐标系，则Ａ（１， ０，０），Ｂ（１，１，０），Ｐ（０，１，ｍ），Ｃ（０，１，０），Ｄ（０，０，０）， Ｂ１（１，１，１），Ｄ１（０，０，１）， 所以 →ＢＤ＝（－１，－１，０），ＢＢ→ １ ＝（０，０，１），→ＡＰ＝ （－１，１，ｍ），→ＡＣ＝（－１，１，０）． 又由 →ＡＣ·→ＢＤ＝０，→ＡＣ·ＢＢ→ １＝０知→ＡＣ为平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ 的一个法向量， 设ＡＰ与平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ所成的角为θ， 则ｓｉｎθ＝ｃｏｓ π ２－( )θ＝ ｜→ＡＰ·→ＡＣ｜ ｜→ＡＰ｜·｜→ＡＣ｜ ＝ ２ 槡２· ２＋ｍ槡 ２ ． 依题意有 ２ 槡２· ２＋ｍ槡 ２ ＝ ３槡２ １＋（３槡２）槡 ２ ， 解得ｍ＝ １３． 所以当ｍ＝１３时，直线ＡＰ与平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ所成的 角的正切值为３槡２． （２）若在Ａ１Ｃ１上存在一个定点Ｑ，设此点的横坐标 为ｘ，则Ｑ（ｘ，１－ｘ，１），Ｄ１ → Ｑ＝（ｘ，１－ｘ，０）． 依题意，对任意的ｍ要使Ｄ１Ｑ在平面ＡＰＤ１上的射 影垂直于ＡＰ等价于Ｄ１Ｑ⊥ＡＰ，等价于 →ＡＰ·Ｄ１→ Ｑ＝０， 即 －ｘ＋（１－ｘ）＝０， 解得ｘ＝ １２． 即Ｑ是Ａ１Ｃ１的中点时，满足题设要求． ! " # $ ! ! ! " " # " $ " % " ! % & $ ! # ! " " & " $ " % " ' ( ) $ " % * ! # ! " + " % * ! # ! $ ( ' ) , 书 空间向量的引入，使立体几何问题的难度大大降 低．因此，正确理解和运用向量方法，对备战高考有重要 意义． 一、异面直线ｍ，ｎ所成的角 例１直棱柱ＡＢＣ—Ａ１Ｂ１Ｃ１中，已知 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＢＢ１ ＝ ｃ，求异面直线 ＡＢ１与 ＢＣ１所成角的余 弦值． 解：如图１，以 Ｂ为坐标原点，ＢＡ， ＢＣ，ＢＢ１所在的直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建 立空间直角坐标系，则 Ａ（ａ，０，０）， Ｂ１（０，０，ｃ），Ｃ１（０，ｂ，ｃ），ＡＢ → １＝（－ａ，０，ｃ），ＢＣ → １＝（０，ｂ， ｃ）， 故ｃｏｓ〈ＡＢ→ １，ＢＣ→ １〉