第1期 空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

书 空间向量是建立在平面向量基础上的，所以初学空 间向量时也会出现类似平面向量学习中所遇到的一些 误区，现提出几点作为警示． 一、套用实数运算性质致错 例１已知在空间四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ ＣＤ，ＡＣ⊥ ＢＤ，试判断ＡＤ与ＢＣ的位置关系． 错解：设 →ＡＢ＝ａ，→ＡＣ＝ｂ，→ＡＤ＝ｃ，所以→ＣＤ＝→ＡＤ－→ＡＣ ＝ｃ－ｂ，→ＢＤ＝→ＡＤ－→ＡＢ＝ｃ－ａ． 因为ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， 所以ａ·（ｃ－ｂ）＝０，ｂ·（ｃ－ａ）＝０， 所以ａ·ｃ＝ａ·ｂ，ｂ·ｃ＝ｃ·ａ，所以ｃ＝ｂ，ｃ＝ａ． 因此ａ＝ｂ＝ｃ，即→ＡＢ＝→ＡＣ＝→ＡＤ，故→ＡＢ，→ＡＣ，→ＡＤ共 线，即ＡＤ与ＢＣ共线． 剖析：向量的运算不满足实数运算的消去律，即不 能由ａ·ｂ＝ｂ·ｃ推出ａ＝ｃ，而上面解法却用了这一错 误结论，导致解题错误． 正解：设 →ＡＢ＝ａ，→ＡＣ＝ｂ，→ＡＤ＝ｃ，所以→ＣＤ＝→ＡＤ－→ＡＣ ＝ｃ－ｂ，→ＢＤ＝→ＡＤ－→ＡＢ＝ｃ－ａ． 因为ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， 所以ａ·（ｃ－ｂ）＝０，ｂ·（ｃ－ａ）＝０， 所以ａ·ｃ＝ａ·ｂ，ｂ·ｃ＝ａ·ｂ． 所以ｃ·（ｂ－ａ）＝０， 即 →ＡＤ·（→ＡＣ－→ＡＢ）＝→ＡＤ·→ＢＣ＝０． 故 →ＡＤ⊥ →ＢＣ，即ＡＤ⊥ＢＣ． 二、不理解共面向量而致错 例２如右图，在长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的各棱所表 示的向量中，同时与向量 →ＡＢ， →ＢＣ共面的向量有 ． 错解： →ＡＤ，→ＤＡ，→ＣＤ，→ＤＣ． 剖析：共面向量不只是指位置处在同一平面内的向 量，而是指平行于同一平面的向量，无论此向量在该平 面内还是在该平面外，都属共面向量，而错解中仅找到 了在平面ＡＢＣＤ内的向量． 正解： →ＢＡ，→ＣＢ，→ＡＤ，→ＤＡ，→ＣＤ，→ＤＣ，Ａ１Ｂ→ １，Ｂ１Ａ→ １，Ｂ１Ｃ→ １， Ｃ１Ｂ → １，Ｃ１Ｄ → １，Ｄ１Ｃ → １，Ｄ１Ａ → １，Ａ１Ｄ → １． 三、忽视基底成立的条件而致错 例３已知ａ，ｂ，ｃ是不共面的三个向量，则下列选项 中能构成一个基底的是 （　　） （Ａ）２ａ，ａ－ｂ，ａ＋２ｂ （Ｂ）２ｂ，ｂ－ａ，ｂ＋２ａ （Ｃ）ａ，２ｂ，ｂ－ｃ （Ｄ）ｃ，ａ＋ｃ，ａ－ｃ 错解：选（Ａ），（Ｂ），（Ｄ）． 剖析：忽视了基底的定义，即三个向量不能共面． 正解：由２ａ＝４３（ａ－ｂ）＋ ２ ３（ａ＋２ｂ）知（Ａ）中 三个向量共面；由２ｂ＝４３（ｂ－ａ）＋ ２ ３（ｂ＋２ａ）知（Ｂ） 中三个向量共面，由ｃ＝１２（ａ＋ｃ）－ １ ２（ａ－ｃ）知（Ｄ） 中三个向量也共面．故选（Ｃ）． 特别提示：判断向量组能否作为空间的基底，就是 判断向量组中三个向量是否共面． 四、混淆向量的坐标公式和线段的中点坐标公式而 致错 例４已知Ａ（３，５，－７），Ｂ（－２，４，３），求→ＡＢ和线段 ＡＢ的中点坐标． 错解： →ＡＢ＝（－２，４，３）－（３，５，－７）＝（－５，－１， １０），线段ＡＢ的中点坐标是 １２ →ＡＢ (＝ －５２，－１２， )５ ． 剖析：出错的原因是把线段中点坐标公式与向量的 坐标公式相混淆． 正解： →ＡＢ＝（－２，４，３）－（３，５，－７）＝（－５，－１， １０），线段ＡＢ的中点坐标是 １２（ →ＯＡ＋→ＯＢ）＝ １２［（３，５， －７）＋（－２，４，３）］ (＝ １２，９２，－ )２ ． 特别提示：向量的坐标为其终点坐标与始点坐标之 差，而线段的中点坐标则依据中点坐标公式求解． 书 高中数学 选择性必修第一册 人教Ａ版 编辑计划 ２０２２年７～１２月 第１期　空间向量 及其运算、空间向量基 本定理、空间向量及其 运算的坐标表示 第２期　空间向量 的应用 第３期　第一章综 合 第４期　阶段性核 心素养测评（一） 第５期　直线的倾 斜角与斜率 第６期　直线的方 程 第７期　直线的交 点坐标与距离公式 第８期　圆的方程 第９期 　 直线与 圆、圆与圆的位置关系 第１０期　第二章 综合 第１１期　阶段性 核心素养测评（二） 第１２期　椭圆 第１３期　双曲线 第１４期　抛物线 第１５期　第三章 综合 第１６期　阶段性 核心素养测评（三） 第１７期　选择性 必修第一册复习（一） 第１８期　选择性 必修第一册复习（二） 第１９期　数列的 概念、等差数列 第２０期　等比数 列 （下转２，３版中缝） 书 空间向量及其运算的重点与热点在于运用空间向 量的运算、数量积、空间向量的基本定理等知识来解决 证明、求值问题．我们本节的热点问题直击也是围绕这 些问题而展开的． 热点问题１：利用空间向量的运算表示未知向量 例１如图１所示，在平行 六面体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ 分 →ＡＣ所成的比为 １２，Ｎ分Ａ１