第8期 三角函数的图象及性质【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 盘点一　三角函数的图象及其性质 函数 ｙ＝ｓｉｎｘ ｙ＝ｃｏｓｘ ｙ＝ｔａｎｘ 图象 定义域 Ｒ Ｒ ① 值域 ［－１，１］ ［－１，１］ Ｒ 对称性 对称轴：直线 ② ； 对称中心：③ 对称轴：直线 ④ ； 对称中心：⑤ 无对称轴； 对称中心：⑥ 最小 正周期 ２π ⑦ ⑧ 单调性 单调增区间： ⑨ ； 单调减区间： ⑩ 单调增区间： 瑏瑡 ； 单调减区间： 瑏瑢 单调增区间： 瑏瑣 最值 当 ｘ＝２ｋπ－ π ２（ｋ ∈ Ｚ） 时，ｙ取最小值 －１；当 ｘ＝ ２ｋπ＋π２（ｋ∈ Ｚ）时，ｙ取最 大值１ 当 ｘ＝２ｋπ＋ π（ｋ∈Ｚ）时， ｙ取 最 小 值 －１；当 ｘ ＝ ２ｋπ（ｋ∈ Ｚ） 时，ｙ取最大值 １ 无最值 奇偶性 奇 偶 奇 盘点二　三角函数的图象变换 由函数ｙ＝ｓｉｎｘ的图象通过变换得到ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０）的图象，有两种主要途径：“先平移 后伸缩”与“先伸缩后平移”．如下图所示． 作ｙ＝ｓｉｎｘ在长度为２π的某闭区间上的简图 沿ｘ轴向左（φ ＞０）或向右 （φ＜０）平移 瑏瑤 个 单位长度 横坐标伸长（０ ＜ω＜１）或缩 短（ω＞１）为 原 来 的 瑏瑥 倍 ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋φ）的简图 　　 ｙ＝ｓｉｎωｘ的简图 横坐标伸长（０ ＜ω＜１）或缩 短（ω＞１）为 原 来 的 瑏瑦 倍 沿ｘ轴向左（φ ＞０）或向右 （φ＜０）平移 瑏瑧 个 单位长度 ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的简图 ｙ＝ [ｓｉｎ (ω ｘ＋φ ) ]ω 的简图 纵坐标伸长（Ａ＞ １）或缩短（０＜Ａ＜ １）为原来的Ａ倍 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）在一个 周期上的简图 沿ｘ　轴扩展 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ），ｘ∈Ｒ的简图 注：（１）无论哪种变换，每一个变换总是针对自变 量ｘ而言的，即图象变换要看“自变量 ｘ”发生多大变 化，而不是看角“ωｘ＋φ”的变换；（２）两种变换途径 中，左右移动的单位是不同的． 盘点三　函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０） １．ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，ｘ≥０）的物理 意义 ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，ｘ≥０）表示一个 振动量时，Ａ叫振幅，Ｔ＝瑏瑨 ，叫周期，ｆ＝１Ｔ叫 频率，ωｘ＋φ叫相位，φ叫初相，ω叫角速度． ２．函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０）的性质 （１）奇偶性：φ＝ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）为奇函数；φ＝ｋπ＋π２（ｋ∈ Ｚ）时，函数 ｙ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）为偶函数． （２）周期性：ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）存在周期性，其最小 正周期为Ｔ＝２π ω ． （３）单调性：根据ｙ＝ｓｉｎｔ和ｔ＝ωｘ＋φ的单调性 来研究，由瑏瑩 得单调递增区间； 由瑐瑠 得单调递减区间． （４）对称性：利用ｙ＝ｓｉｎｘ的对称中心为（ｋπ，０）（ｋ ∈Ｚ）求解，令ωｘ＋φ＝ｋπ（ｋ∈Ｚ），求得其对称中心． 利用ｙ＝ｓｉｎｘ的对称轴为ｘ＝ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ）求 解，令瑐瑡 ，求得其对称轴． ３．根据图象求解析式ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋ｋ（Ａ＞０， ω＞０）的方法． （１）在一个周期内，若最大值为 Ｍ，最小值为 ｍ，则 Ａ＝Ｍ－ｍ２ ，ｋ＝ Ｍ＋ｍ ２ ． （２）ω由周期Ｔ确定，即由２πω ＝Ｔ求出． （３）φ的求法通常有以下两种： ａ．代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，Ａ，ω， ｋ已知）求解． ｂ．五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点”作为突 破口，具体如下：“第一点”为ωｘ＋φ＝０；“第二点”为 ωｘ＋φ＝π２；“第三点”为ωｘ＋φ＝π；“第四点”为ωｘ ＋φ＝３π２；“第五点”为ωｘ＋φ＝２π． 盘点四　三角函数的最值问题 １．形如ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ（ａｂ≠０）型函数 解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 同名三角函数，通过引入辅助角转化为一个角的三角函 数瑐瑢 ． ２．形如ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｃｏｓ２ｘ＋ｄ（ａｂｃ≠ ０）型函数 先利用二倍角公式降幂转化为瑐瑣 型函数， 再引入辅助角转化为一个角的三角函数求解． ３．形如ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ（ａ≠０）型函数 应用瑐瑤 使函数式只含有一种三角函数，再 应用换元法，转化成二次函数来求解． ４．形如ｙ＝ａ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃ（ａ≠０） 型函数 令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，应用瑐瑥 解出ｓｉｎｘｃｏｓｘ ＝±ｔ ２－１ ２ ，从而转化为关于ｔ的二次函数在给定区间上 的最值问题，进而求解． 知识盘点参考答案 ① ｘ ｘ≠ｋπ＋π２，ｋ∈{ }Ｚ；②ｘ＝ｋπ＋π２（ｋ∈ Ｚ）；③（ｋπ，０）（ｋ ∈ Ｚ）；④ｘ ＝ ｋπ（ｋ ∈ Ｚ）； ⑤ ｋπ＋π２，( )０（ｋ∈ Ｚ）；⑥