第7期 任意角的三角函数、两角和与差的三角函数【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 盘点一　三角函数的有关概念 １．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一 个集合① ． ２．弧度制 （１）角度与弧度的互化 ①３６０°＝２πｒａｄ；②１８０°＝πｒａｄ； ③１°＝ π１８０ｒａｄ；④１ｒａｄ (＝ １８０)π °≈５７．３０°． （２）弧长及扇形公式 ①弧长公式：ｌ＝② ； ②扇形周长公式：Ｃ＝③ ； ③扇形面积公式：Ｓ＝④ ． 其中ｌ为扇形弧长，α为圆心角，ｒ为扇形半径． ３．任意角的三角函数 （１）定义：设 α是一个任意 大小的角，α的终边上任意一点 Ｐ（如右图）的坐标是（ｘ，ｙ），它 与 原 点 的 距 离 是 ｒ（ｒ ＝ ｘ２＋ｙ槡 ２ ＞０），则 ｓｉｎα＝⑤ ，ｃｏｓα＝⑥ ， ｔａｎα＝⑦ ． （２）三角函数线 若图１为单位圆，则正弦线为 ⑧ ；余弦线 为⑨ ；正切线为⑩ ． （３）三角函数在各象限的符号 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 注：利用三角函数定义解题的基本类型及方法 （１）已知角α终边上一点Ｐ的坐标求三角函数值， 先求出点Ｐ到原点的距离ｒ，然后利用三角函数定义求 解． （２）已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角 函数值，可直接根据三角线求解． （３）已知角α的终边所在的直线方程求三角函数 值，先设出终边一点的坐标，求出此点到原点的距离， 然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类 讨论． （４）判断三角函数值的符号问题，先判断角所在 的象限，再根据各象限的符号规律判断． 盘点二　同角三角函数关系式 １．平方关系：ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１． ２．商数关系：ｔａｎα＝ (瑏瑡 α≠ π２＋ｋπ，ｋ ∈ )Ｚ ． 注：（１）公式常见变形：ｓｉｎ２α＝瑏瑢 ， ｃｏｓ２α＝１－ｓｉｎ２α，ｓｉｎα＝± １－ｃｏｓ２槡 α，ｃｏｓα＝ ± １－ｓｉｎ２槡 α，ｓｉｎα ＝ ｃｏｓαｔａｎα，ｃｏｓα ＝ 瑏瑣 等． （２）利用平方关系求三角函数值，进行开方时，要 根据角的范围判断相应三角函数值的符号． 盘点三　诱导公式 １．诱导公式 　角 函数　 ２ｋπ＋α π＋α －α π－α π２ －α π ２ ＋α 正弦 ｓｉｎα －ｓｉｎα －ｓｉｎα ｓｉｎα ｃｏｓα ｃｏｓα 余弦 ｃｏｓα －ｃｏｓα ｃｏｓα －ｃｏｓα ｓｉｎα －ｓｉｎα 正切 ｔａｎα ｔａｎα －ｔａｎα －ｔａｎα ２．诱导公式的记忆规律 （１）诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． （２）“奇”“偶”指的是诱导公式ｋ·π２＋α中的整数 ｋ是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变 化，若ｋ是奇数，则正、余弦互变；若 ｋ为偶数，则函数名 称不变． （３）“符号看象限”指的是在ｋ·π２＋α中，将α看成 锐角时ｋ·π２＋α所在的象限． 盘点四　三角恒等变换 １．三角恒等变换中常用的公式 （１）两角和与差的三角公式 ｓｉｎ（α±β）＝瑏瑤 ； ｃｏｓ（α±β）＝瑏瑥 ； ｔａｎ（α±β）＝瑏瑦 ． （２）二倍角公式 ｓｉｎ２α＝瑏瑧 ； ｃｏｓ２α＝瑏瑨 ； ｔａｎ２α＝瑏瑩 ． （３）半角公式 ｓｉｎα２ ＝瑐瑠 ；ｃｏｓ α ２ ＝瑐瑡 ； ｔａｎα２ ＝± １－ｃｏｓα １＋ｃｏｓ槡 α＝瑐瑢 ＝ １－ｃｏｓα ｓｉｎα ． ２．常用的公式变形 （１）辅助角公式 ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝瑐瑣 ， 其中ｃｏｓφ＝ ａ ａ２＋ｂ槡 ２ ，ｓｉｎφ＝ ｂ ａ２＋ｂ槡 ２ ． 注：辅助角公式在三角函数中具有最广泛的应用， 它是研究三角函数性质、求三角函数值的重要工具，应 熟练掌握． （２）两角和与差的正切公式的变形 ｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｔａｎ（α＋β）（１－ｔａｎαｔａｎβ）； ｔａｎα－ｔａｎβ＝ｔａｎ（α－β）（１＋ｔａｎαｔａｎβ）． （３）升幂公式 １＋ｃｏｓα＝２ｃｏｓ２α２；１－ｃｏｓα＝瑐瑤 ． （４）降幂公式 ｓｉｎ２α＝瑐瑥 ；ｃｏｓ２α＝瑐瑦 ． （５）其他常用变形 ｓｉｎ２α＝ ２ｓｉｎαｃｏｓα ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α ＝瑐瑧 ； ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ ２α－ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α ＝瑐瑨 ； １±ｓｉｎα (＝ ｓｉｎα２±ｃｏｓα )２ ２ ． ３．三角形函数式的化简与求值的原则与技巧 （１）化简的基本原则 ①能求值的尽量求值； ②使三角函数的种类尽量少； ③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含有三角函数． （２）化简中的常用技巧 ①“１”的代换：１＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α，１＝２ｃｏｓ２α－ ｃｏｓ２α，１＝ｃｏｓ２α＋２ｓｉｎ２α，１＝ｔａｎπ４等； ②用“弦化切”“切化弦”的方法来减少三角函数的 种类； ③利用辅助角公式将形如ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα的式子化 为