第5期 导数在研究函数中的应用【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 ２０．（本小题满分１２分）（２０２１河北省保定市模拟） 已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２－３ｘ（ａ，ｂ∈ Ｒ），且 ｆ（ｘ）在 ｘ＝１和ｘ＝３处取得极值． （１）求函数ｆ（ｘ）的解析式； （２）设函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｔ，问是否存在实数ｔ，使 得曲线ｙ＝ｇ（ｘ）与ｘ轴有两个交点？若存在，求出 ｔ的 值；若不存在，请说明理由． ２１．（本小题满分１２分）（２０２２广东省湛江市调研） 设函数ｆ（ｘ）＝ｘ－２ｘ－ａｌｎｘ－ １ ｘ( )２ （ａ＞０）． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）记函数ｆ（ｘ）的最小值为ｇ（ａ），证明：ｇ（ａ）＜１． ２２．（本小题满分１２分）（２０２２山东省泰安市期中） 已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｍｘ２＋ｎｘ＋１的图象在ｘ＝１处 的切线过点 １ ２，( )１２ ． （１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性； （２）若函数ｇ（ｘ）＝－ｆ（ｘ）＋ｘ＋１（ｍ＞０）有两个 极值点ｘ１，ｘ２．证明：ｇ（ｘ１）＋ｇ（ｘ２）＞３－２ｌｎ２                                                                               ． 书 第４期检测题参考答案 一、单项选择题　１～４　ＢＢＣＡ　５～８　ＤＢＣＢ 二、多项选择题 ９．ＡＢＣ；　１０．ＢＣＤ；　１１．ＣＤ；　１２．ＢＣＤ． 三、填空题 １３．１；　１４．３；　１５ (． １ｅ，＋ )∞ ；　１６．②③． 四、解答题 １７．解：（１）显然Ｑ（１，０）不在曲线ｆ（ｘ）＝ １ｘ上， 则可设过该点的切线的切点为Ａ ａ，１( )ａ ， 则该切线斜率为ｋ１ ＝ｆ′（ａ）＝－ １ ａ２ ． 则切线方程为ｙ－１ａ ＝－ １ ａ２ （ｘ－ａ）， （） 将Ｑ（１，０）代入（）得０－１ａ ＝－ １ ａ２ （１－ａ），解得ａ＝ １２， 故所求切线方程为ｙ＝－４ｘ＋４． （２）设切点坐标为 ｂ，１( )ｂ ， 因为切线的斜率ｋ２ ＝－ １ ｂ２ ＝－１３，解得ｂ＝±槡３， 所以切点坐标为 槡３，槡 ３( )３ 或 －槡３，－槡３( )３ ． 代入点斜式方程得 ｙ－槡３３ ＝－ １ ３（ｘ－槡３）或 ｙ＋ 槡３ ３ ＝ －１３（ｘ＋槡３）． 即切线方程为ｘ＋３ｙ－槡２３＝０或ｘ＋３ｙ＋槡２３＝０． １８．（１）解：由题可知ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）， ｆ′（ｘ）＝１＋２ａｘ＋ ｂｘ， 因为ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ（１，０）处切线的斜率为２， 所以ｆ（１）＝１＋ａ＝０，ｆ′（１）＝１＋２ａ＋ｂ＝２， 解得ａ＝－１，ｂ＝３． （２）证明：由（１）知ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ２＋３ｌｎｘ（ｘ＞０）， 则转化为证明２－ｘ－ｘ２＋３ｌｎｘ≤０对任意正实数ｘ恒成立， 设ｇ（ｘ）＝２－ｘ－ｘ２＋３ｌｎｘ， 则ｇ′（ｘ）＝－１－２ｘ＋３ｘ ＝－ （ｘ－１）（２ｘ＋３） ｘ ， 当０＜ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０， 所以ｇ（ｘ）在（０，１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减． 所以ｇ（ｘ）在ｘ＝１处有最大值ｇ（１）＝０， 所以ｇ（ｘ）≤０对任意正实数ｘ恒成立， 即２－ｘ－ｘ２＋３ｌｎｘ≤０对任意正实数ｘ恒成立， 即ｆ（ｘ）≤２ｘ－２． １９．解：（１）设曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上的点Ａ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ的距 离最短，则函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线与直线ｌ平行， 因为ｆ′（ｘ０）＝ １ ｘ０ ＝１，所以ｘ０ ＝１，求得ｙ０ ＝１， 所以函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线方程为ｙ＝ｘ， 所以点Ａ到直线ｌ的最短距离等于｜１－１＋２｜ 槡２ ＝槡２． （２）由题意得ｇ（ｘ）＝１２ｘ ２－（ａ＋１）ｘ＋ｌｎｘ＋１（０＜ｘ＜３）， 所以ｇ′（ｘ）＝ｘ－（ａ＋１）＋１ｘ ＝ ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１ ｘ ， 因为曲线ｙ＝ｇ（ｘ）上存在两个不同的点，使得在这两点处 的切线都与ｘ轴平行， 所以关于ｘ的方程ｇ′（ｘ）＝０， 即ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１＝０在（０，３）上有两个不同的根， 设ｈ（ｘ）＝ｘ２－（ａ＋１）ｘ＋１， 则 Δ＝（ａ＋１）２－４＞０， ｈ（０）＝１＞０， ０＜ａ＋１２ ＜３， ｈ（３）＝９－３（ａ＋１）＋１＞０ { ， 解得１＜ａ＜ ７３， 所以实数ａ (的取值范围是 １， )７３ ． ２０．解：根据题意 (ｆ １ )ｘ ＝ｌｎ１ｘ－ａｘ＋ｂｘ， 由ｆ（ｘ） (＋ｆ １ )ｘ ＝０ (得 ｘ＋１ )ｘ （ｂ－ａ）＝０， 即ｂ＝ａ，ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａｘ＋ ａｘ， （１）ｆ′（ｘ）＝ １ｘ－ａ－ ａ ｘ２ ，ｆ′（１）＝１－２ａ，ｆ（１）＝０， 所以在点（１，０）处的切线方程为ｙ＝（１－２