第3期 基本初等函数(幂、指、对数函数),函数与方程【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 第２期检测题参考答案 一、单项选择题　１～４　ＤＢＢＣ　５～８　ＣＣＣＤ 二、多项选择题 ９．ＣＤ；　１０．ＣＤ；　１１．ＡＢ；　１２．ＡＣＤ． 三、填空题 １３ [． ６５， )３ ；　１４ (． －∞，１３]１２ ； １５．（－∞，－５］；　１６．－１３． 四、解答题 １７．解：因为ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋２ｘ＝ｘ２＋（ｂ＋２）ｘ＋ｃ为偶函 数，且定义域为Ｒ，关于ｙ轴对称，所以ｇ（ｘ）＝ｇ（－ｘ）， 即ｘ２＋（ｂ＋２）ｘ＋ｃ＝（－ｘ）２＋（ｂ＋２）×（－ｘ）＋ｃ， 整理得２（ｂ＋２）ｘ＝０， 又因为ｘ不恒为０，所以ｂ＋２＝０，解得ｂ＝－２， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋ｃ． 若选①：因为ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）２＋ｃ－１，对称轴为ｘ＝１， 所以ｆ（ｘ）在［－２，１）上单调递减，在（１，２］上单调递增， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｍａｘ｛ｆ（－２），ｆ（２）｝， 且ｆ（－２）＝ｃ＋８，ｆ（２）＝ｃ，所以ｃ＋８＝５，解得ｃ＝－３， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ－３． 若选②：因为ｆ（ｘ）≤０的解集为｛１｝， 所以１２－２×１＋ｃ＝０，解得ｃ＝１，所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋１． 若选③：因为ｘ２－２ｘ＋ｃ＝０的两根为ｘ１，ｘ２，且ｘ２１＋ｘ２２＝１０， 所以ｘ１＋ｘ２ ＝２，ｘ１ｘ２ ＝ｃ， 则 ｘ２１＋ｘ２２＝（ｘ１＋ｘ２）２－２ｘ１ｘ２＝４－２ｃ＝１０，解得ｃ＝－３， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ－３． １８．解：（１）由题可得ｆ（０）＝ｂ－２２ ＝０ｂ＝１， 所以ｆ（ｘ）＝１－ ２ ａｘ＋１ ，ｆ（－ｘ）＝１－ ２ ａ－ｘ＋１ ， 所以ｆ（－ｘ）＝１－ ２ａ ｘ １＋ａｘ ＝１－２ａ ｘ＋２－２ １＋ａｘ ＝－１＋ ２ ａｘ＋１ ＝－ｆ（ｘ）， 且定义域为Ｒ，关于原点对称，所以ｆ（ｘ）为奇函数， 故ｂ＝１满足题意． （２）当ａ＞１时，函数ｆ（ｘ）＝１－ ２ ａｘ＋１ 单调递增， 故ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（１）＝１－ ２ ａ＋１＝ １ ３ａ＝２， 当０＜ａ＜１时，函数ｆ（ｘ）＝１－ ２ ａｘ＋１ 单调递减， 故ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（－１）＝１－ ２ ａ－１＋１ ＝ １３ａ＝ １ ２， 综上所述，ａ的值是２或 １２． １９．解：（１）设ｘ＜０，则 －ｘ＞０，因为函数ｈ（ｘ）是奇函数， 所以ｈ（ｘ）＝－ｈ（－ｘ）＝－２ｘ２－３ｘ－１． 所以ｈ（ｘ）＝ －２ｘ２－３ｘ－１， ｘ＜０， ０， ｘ＝０， ２ｘ２－３ｘ＋１， ｘ＞０ { ． （２）由ｇ（ｘ）＝－ｆ（ｘ）＋ｍｘ＋１得ｇ（ｘ）＝－２ｘ２＋（３＋ｍ）ｘ． 即ｇ（ｘ）是二次函数且开口向下，对称轴ｘ＝３＋ｍ４ ， 当ｘ∈［１，２］时，ｇ（ｘ）的最大值为２， ①当３＋ｍ４ ≤１，即ｍ≤１时，ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（１）＝－２＋３＋ ｍ＝２，解得ｍ＝１； ②当１＜３＋ｍ４ ＜２，即１＜ｍ＜５时，ｇ（ｘ）ｍａｘ (＝ｇ ３＋ｍ)４ ＝ｍ ２＋６ｍ＋９ ８ ＝２，解得ｍ＝１（舍）或ｍ＝－７（舍）； ③当３＋ｍ４ ≥２，即ｍ≥５时，ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（２）＝－８＋２ｍ ＋６＝２，解得ｍ＝２（舍）；综上所述ｍ的值为１． ２０．解：（１）设ｆ（ｘ）＝ｃｘ（ｃ＞０且ｃ≠１）， 因为指数函数ｆ（ｘ）的图象经过点（－１，３）， 所以ｆ（－１）＝ｃ－１＝３，即ｃ＝ １３，所以ｆ（ｘ） (＝ )１３ ｘ ． （２）令ｔ＝ｆ（ｘ） (＝ )１３ ｘ ， 因为ｘ∈［－１，１］，所以ｔ [∈ １３， ]３ ， 设ｋ（ｔ）＝ｔ２－２ａｔ＋３，对称轴为ｔ＝ａ（ａ≥３）， 所以ｋ（ｔ） [在 １３， ]３ 上单调递减，当ｔ＝３时，ｋ（ｔ）取最小 值，即ｇ（ｘ）取最小值ｈ（ａ）＝ｋ（３）＝１２－６ａ． （３）由（２）知ｍ＞ｎ＞３时， ｈ（ａ）＝１２－６ａ在［ｎ，ｍ］上单调递减， 若此时ｈ（ａ）的值域为［ｎ２，ｍ２］， 则 １２－６ｎ＝ｍ２ １２－６ｍ＝ｎ{ ２，即６（ｍ－ｎ）＝（ｍ－ｎ）（ｍ＋ｎ）， 因为ｍ≠ｎ，则ｍ－ｎ≠０，所以ｍ＋ｎ＝６， 又ｍ＞ｎ＞３，故不存在满足条件的ｍ，ｎ． ２１．（１）证明：令ｘ＝ｙ＝０，则ｆ（０）＝０， 令ｙ＝－ｘ，则ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）． 由题意在Ｒ上任意取ｘ１，ｘ２，且ｘ１ ＜ｘ２，则ｘ２－ｘ１ ＞０， ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＋ｆ（－ｘ１）＝ｆ（ｘ２－ｘ１）． 因为当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＜０，所以ｆ（ｘ２－ｘ１）＜０， 即ｆ（ｘ２）＜ｆ（ｘ１）， 则由定义可知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上为单调递减函数． （２）解：因为ｆ（ｘ）在Ｒ上是减函数， 所以ｆ（ｘ）在［－３，３］上也是减函数． 又ｆ（３）＝ｆ（２）＋ｆ（１）＝ｆ（１）＋ｆ（１）＋ｆ（１）＝３ｆ（１） ＝３× －( )２３ ＝－２， 由ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）可得ｆ（－３）＝－ｆ（３）＝２． 故ｆ（ｘ）在［－３，３］上的最大值为２，最小值为 －２．