第1期 集合与常用逻辑用语-【数理报】新高考2023高考数学一轮复习学案

书 盘点１　集合及其相关运算 １．集合中元素的特性及表示 （１）集合中元素的三大特性：① 、 ② 、③ ． 注：互异性是考查的重点，常作为解题的切入点， 同时也是检验答案正确与否的工具． （２）集合的表示方法：④ 、⑤ 、 ⑥ ． （３）常用数集之间的关系： ２．集合间的关系 名称 符号 文字语言 符号语言 Ｖｅｎｎ图表示 子集  若集合 Ａ的每一个元 素都是集合 Ｂ的元 素，则称Ａ是Ｂ的子集 若 ｘ∈ Ａｘ ∈Ｂ， 则ＡＢ 真子集  若集合Ａ是集合 Ｂ的 子集，且 Ｂ中至少有 一个元素不在Ａ中，则 称Ａ是Ｂ的真子集 若Ａ Ｂ且 Ａ≠Ｂ， 则ＡＢ 相等 ＝ 若集合Ａ是集合 Ｂ的 子集，且Ｂ也是Ａ的子 集，则称Ａ与Ｂ相等 若Ａ Ｂ且 ＢＡ， 则Ａ＝Ｂ 注：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真 子集，符号表示为Ａ，Ｂ（Ｂ≠）． ３．集合的运算及性质 名称 交集 并集 补集 符号 Ａ∩Ｂ Ａ∪Ｂ 瓓ＵＡ 数学 语言 Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈ Ａ且ｘ∈Ｂ｝ Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈ Ａ或ｘ∈Ｂ｝ 瓓ＵＡ＝｛ｘ｜ｘ∈Ｕ 且ｘＡ｝ 图形 运算 性质 Ａ∩ＢＡ， Ａ∩ＢＢ， Ａ∩ ＝ ＢＡ∪Ｂ， ＡＡ∪Ｂ， Ａ∪ ＝Ａ Ａ∪（瓓ＵＡ）＝Ｕ， Ａ∩（瓓ＵＡ）＝， 瓓Ｕ（瓓ＵＡ）＝Ａ 注：空集的特殊性：在解题中，若未指明集合非空 时，要考虑空集的可能性，如ＡＢ，则有Ａ＝和Ａ≠ 两种可能，此时应分类讨论． ４．有限集的子集、真子集的个数 若有限集合 Ａ中有 ｎ个元素，则集合 Ａ的子集有 ⑦ 个，非空子集有 ⑧ 个，真子集有 ⑨ 个，非空真子集有（２ｎ－２）个． ５．集合运算的相关结论 （１）Ａ∪Ｂ＝ＡＢＡ． （２）Ａ∩Ｂ＝Ａ⑩ ． （３）Ａ∩Ｂ＝Ａ∪ＢＡ＝Ｂ． （４）（Ａ∩Ｂ）∪Ｃ＝（Ａ∪Ｃ）∩（Ｂ∪Ｃ）． （５）（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）． （６）狄摩根定律：瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）＝（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）； 瓓Ｕ（Ａ∩Ｂ）＝瑏瑡 ． 盘点２　命题及其关系 １．命题：可以判断真假的陈述句叫做命题，其中可 以判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假 命题． 在数学中，有许多命题可以写成“若 ｐ，则 ｑ”的形 式，其中ｐ称为命题的条件，ｑ称为命题的结论． ２．原命题的逆命题：将命题“若ｐ，则ｑ”中的条件 ｐ 和结论ｑ互换，就得到一个新的命题“若ｑ，则ｐ”，称这个 命题为原命题的逆命题． ３．原命题的否定：一般地，对一个命题“若 ｐ，则 ｑ” 进行否定，就可以得到一个新的命题“若 ｐ，则非 ｑ”，这 一新命题称为原命题的否定． 注：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不 能同时为假命题，只能一真一假． 盘点３　充分条件与必要条件 １．充分、必要条件与充要条件的定义 （１）若ｐｑ，则ｐ是ｑ的充分条件，ｑ是ｐ的必要条 件； （２）若ｐｑ且ｑｐ，则ｐ是ｑ的瑏瑢 条件； （３）若ｐｑ且ｑ／ｐ，则ｐ是ｑ的瑏瑣 条件； （４）若ｐ／ｑ且ｑｐ，则ｐ是ｑ的瑏瑤 条件； （５）若ｐ／ｑ且ｑ／ｐ，则ｐ是ｑ的既不充分也不必要 条件． 注：充分条件、必要条件和充要条件的判断，首先 要分清命题的条件和结论，然后尝试从条件推结论，再 尝试从结论推条件，最后判断命题的条件是结论成立 的什么条件． ２．集合角度理解充分、必要条件 若条件ｐ以集合Ａ的形式出现，结论ｑ以集合Ｂ的形 式出现时，则有 若ＡＢ，则ｐ是ｑ的充分不必要条件； 若瑏瑥 ，则ｐ是ｑ的必要不充分条件； 若瑏瑦 ，则ｐ是ｑ的充要条件． 典例 　已知集合 {Ａ＝ ｙ ｙ＝ｘ２－３２ｘ＋１，－１２ ≤ｘ≤ }２ ，集合Ｂ＝｛ｘ｜｜ｘ－ｍ｜≥１｝，命题ｐ：ｘ∈Ａ， 命题ｑ：ｘ∈Ｂ，并且命题ｐ是命题ｑ的充分条件，求实数ｍ 的取值范围． 解析：由ｙ＝ｘ２－３２ｘ＋１ 配方得 (ｙ＝ ｘ－ )３４ ２ ＋７１６， 因为 －１２≤ｘ≤２，所以 － ５ ４≤ｘ－ ３ ４≤ ５ ４， 所以０ (≤ ｘ－ )３４ ２ ≤ ２５１６， 所以 ７ １６≤ｙ≤２， 所以 {Ａ＝ ｙ ７１６≤ｙ≤ }２ ． 由｜ｘ－ｍ｜≥１，解得ｘ≥ｍ＋１或ｘ≤ｍ－１， 所以Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥ｍ＋１或ｘ≤ｍ－１｝． 因为命题ｐ是命题ｑ的充分条件，所以ＡＢ． 所以ｍ＋１≤ ７１６或ｍ－１≥２， 解得ｍ≤－９１６或ｍ≥３． 故实数ｍ (的取值范围是 －∞，－９ ]１６ ∪［３，＋∞）． 盘点四　全称量词与存在量词 １．定义：短语“对所有的”，“对任意一个”在逻辑中 叫瑏瑧 ，并用符号“”表示．含有全称量词的命 题叫全称量词命题．短语“存在一个”，“至少有一个”在 逻辑中叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量 词的命题叫瑏瑨 ． ２．含有量词命题真假的判断 要判定一个全称