7期 幂函数、函数的应用(一)【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．（－∞，０］；　４．（－∞，２）． ５．解：ｙ＝ｆ（ｘ）在［－２，－１］，［０，１］上是减函数， 在［－１，０］，［１，２］上是增函数． ｙ＝ｇ（ｘ）在［－３，－１．５］，［１．５，３］上是减函数， 在［－１．５，１．５］上是增函数． ６．证明：设ｘ１，ｘ２是（０，＋∞）上任意两个实数，且ｘ１＞ｘ２， 则此时ｘ１ ＞ｘ２ ＞０． ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ ｘ２１－２ ｘ１ － ｘ２２－２ ｘ２ ＝ｘ１－ｘ２＋ ２ ｘ２ －２ｘ１ ＝（ｘ１－ｘ２ (） １＋ ２ｘ１ｘ )２ ， 因为ｘ１ ＞ｘ２ ＞０，所以ｘ１－ｘ２ ＞０，ｘ１ｘ２ ＞０， 因此ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＞０ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）， 因此函数ｆ（ｘ）＝ｘ ２－２ ｘ 在区间（０，＋∞）上单调递增． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｄ；　３．－３；　４．ｘ－１；　５．Ｂ． ６．解：（１）函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，关于原点对称． 又因为ｆ（－ｘ）＝｜－ｘ＋１｜－｜－ｘ－１｜＝｜ｘ－１｜－｜ｘ＋１｜＝ －（｜ｘ＋１｜－｜ｘ－１｜）＝－ｆ（ｘ）， 所以ｆ（ｘ）＝｜ｘ＋１｜－｜ｘ－１｜是奇函数． （２）由１＋ｘ１－ｘ≥０，得 －１≤ｘ＜１，函数的定义域不关于原点 对称，所以ｆ（ｘ）既不是奇函数也不是偶函数． （３）易得函数ｆ（ｘ）的定义域是（－∞，０）∪（０，＋∞），关于 原点对称．当ｘ＞０时，－ｘ＜０，所以 ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）·［１－ （－ｘ）］＝－ｘ（１＋ｘ）＝－ｆ（ｘ）；当ｘ＜０时，－ｘ＞０，所以ｆ（－ｘ） ＝－ｘ（１－ｘ）＝－ｆ（ｘ）．故函数ｆ（ｘ）为奇函数． Ａ组 一、单项选择题 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｄ；　６．Ｂ；　７．Ｄ；　８．Ｂ． 二、填空题　９．［０，＋∞）；　１０．②③． 三、解答题 １１．解：（１）ｙ＝｜２ｘ－１｜＝ ２ｘ－１，　ｘ≥ １２， －２ｘ＋１，ｘ＜ １２ { ； [即函数的单调递增区间为 １２，＋ )∞ ， (单调递减区间为 －∞， ]１２ ． （２）ｙ＝ｘ２－２ｘ＋５，ｘ∈［－４，３］，对称轴为ｘ＝１，开口向上， 故函数的单调递减区间为［－４，１］，单调递增区间为［１，３］． （３）函数在（－∞，－２）和（－２，＋∞）上单调递增，无单调 递减区间． （４）ｙ＝ｘ－１ｘ＋１＝１＋ －２ ｘ＋１， 函数在（－∞，－１）和（－１，＋∞）上单调递增． １２．解：（１）当ｘ＞０时，－ｘ＜０， ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）２＋２·（－ｘ）＝ｘ２－２ｘ， 又函数ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数， 所以ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）＝ｘ２－２ｘ． 所以函数ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）的解析式为 ｆ（ｘ）＝ ｘ ２－２ｘ，　ｘ＞０， ｘ２＋２ｘ， ｘ≤０{ ． （２）由（１）知，ｇ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋２）ｘ＋２（ｘ∈［１，２］）， 其图象的对称轴为直线ｘ＝ａ＋１． ①当ａ＋１≤１，即ａ≤０时， 函数ｇ（ｘ）的最小值为ｇ（１）＝１－２ａ； ②当ａ＋１≥２，即ａ≥１时， 函数ｇ（ｘ）的最小值为ｇ（２）＝２－４ａ； ③当１＜ａ＋１＜２，即０＜ａ＜１时， 函数ｇ（ｘ）的最小值为ｇ（ａ＋１）＝－ａ２－２ａ＋１． １３．（１）证明：设０＜ｘ１ ＜ｘ２ ＜２， 则ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ｘ１＋ ４ ｘ１ －ｘ２－ ４ ｘ２ ＝（ｘ１－ｘ２） １－ ４ ｘ１ｘ ( ) ２ ＝（ｘ１－ｘ２） ｘ１ｘ２－４ ｘ１ｘ２ ． 因为０＜ｘ１＜ｘ２＜２，所以ｘ１－ｘ２＜０，０＜ｘ１ｘ２＜４，所以 ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＞０，所以ｆ（ｘ）在区间（０，２）上单调递减． 同理可证，ｆ（ｘ）在［２，＋∞）上单调递增． （２）解：由题意易知，函数定义域为（－∞，０）∪（０，＋∞）， 又ｆ（－ｘ）＝－ｘ＋ ４－ｘ＝－ ｘ＋ ４( )ｘ ＝－ｆ（ｘ）， 所以ｆ（ｘ）为奇函数． （３）解：由（２）知ｆ（ｘ）为奇函数，故函数的图象关于原点对称， 又ｆ（ｘ）在［２，＋∞）上单调递增， 则ｆ（ｘ）在（－∞，－２］上也单调递增． 所以函数ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－∞，－２］，［２，＋∞）． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＣＤ；　２．ＡＣ；　３．ＣＤ；　４．ＡＤ． 二、填空题　５． ｘ ｘ２－１ ， １ ｘ２－１ ；　６．（１，槡２］． 三、解答题 ７．解：因为 ｆ（１＋ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０， 所以ｆ（１＋ａ）＜－ｆ（１－ａ２）， 又因为ｆ（ｘ）是定义在（－１，１）上的奇函数， 所以ｆ（１＋ａ）＜ｆ（ａ２－１）， 又因为ｆ（ｘ）在（－１，１）上单调递减， 所以 －１＜１＋ａ＜１， －１＜ａ２－１＜１， １＋ａ＞ａ２－１ { ， 即 －２＜ａ＜０， ０＜ａ２ ＜２， －１＜ａ＜２ { ， 解得 －１＜ａ＜０，故ａ的取值范围是（－１，０）． ８．解：（１）令ｘ１ ＝ｘ２ ＝１，