4期 二次函数与一元二次方程、不等式及本章综合【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

书书书 １９．（１２ 分 ） （２０２２ 湖 北 孝 感 市 孝 南 区 第 二 高 级 中 学 高 一 期 中 ） 大 熊 猫 欢 欢 在 动 物 园 顺 利 地 产 下 了 一 对 双 胞 胎 ，暂 时 取 名 为 “ 棉 花 ” 和 “ 小 雪 ”．为 了 让 妈 妈 更 好 地 喂 养 两 个 小 幼 崽 ，动 物 园 决 定 在 原 来 的 矩 形 居 室 ＡＢＣＤ 的 基 础 上 ，拓 展 建 成 一 个 更 大 的 矩 形 居 室 ＡＭ ＰＮ ，使 活 动 的 空 间 更 大 ． 为 不 影 响 现 有 的 生 活 环 境 ，建 造 时 要 求 点 Ｂ 在 ＡＭ 上 ，点 Ｄ 在 ＡＮ 上 ，且 对 角 线 Ｍ Ｎ 过 点 Ｃ ，如 下 图 所 示 ．已 知 ＡＢ ＝ ６ ｍ ，ＡＤ ＝ ４ ｍ ．设 Ｄ Ｎ ＝ ｘ ｍ （ 单 位 ：ｍ ） ，矩 形 ＡＭ ＰＮ 的 面 积 为 ｙ ｍ ２． （１ ） 写 出 ｙ 关 于 ｘ 的 表 达 式 ，并 求 出 ｘ 为 多 少 米 时 ，ｙ 有 最 小 值 ； （２ ） 要 使 矩 形 ＡＭ ＰＮ 的 面 积 大 于 １２８ ｍ ２，则 Ｄ Ｎ 的 长 应 在 什 么 范 围 内 ？ ２０． （１２ 分 ） （２０２２ 辽 宁 沈 阳 高 一 阶 段 练 习 ） （１ ） 若 方 程 ａｘ ２ － ａｘ ＋ １ ＝ ０ 存 在 两 个 不 等 实 根 ｘ １ ，ｘ ２ ，求 ｘ ２１ ＋ ｘ ２２ 的 取 值 范 围 ． （２ ） 已 知 命 题 Ｐ ：存 在 一 个 实 数 ｘ，使 ａｘ ２ － ａｘ ＋ １ ＜ ０ ，当 ａ ∈ Ａ 时 ，非 Ｐ 为 真 命 题 ， 求 集 合 Ａ． ２１． （１２ 分 ） （２０２２ 河 北 馆 陶 县 一 中 阶 段 测 试 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ｘ ２ － （ｃ ＋ １ ）ｘ ＋ ｃ（ｃ∈ Ｒ ）． （１ ） 解 关 于 ｘ 的 不 等 式 ｆ（ｘ） ＜ ０ ； （ ２ ） 当 ｃ ＝ － ２ 时 ，不 等 式 ｆ（ｘ） ＞ ａｘ － ５ （０ ＜ ｘ ＜ ２ ） 恒 成 立 ，求 实 数 ａ 的 取 值 范 围 ． ２２． （１２ 分 ） 已 知 二 次 函 数 ｆ（ｘ） 的 二 次 项 系 数 为 ａ ，且 不 等 式 ｆ（ｘ） ＋ ２ｘ ＞ ０ 的 解 集 为 ｛ｘ ｜ １ ＜ ｘ ＜ ３ ｝． （１ ） 若 方 程 ｆ（ｘ） ＋ ６ａ ＝ ０ 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，求 ｆ（ｘ） 的 解 析 式 ； （ ２ ） 若 ｆ（ｘ） 的 最 大 值 为 正 数 ，求 ａ 的 取 值 范 围 ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456 ! 78!"#$%&'( *+,-./0123456 ! 78)"*$%&+( ! " # $ % & ' 书 !"#$%& '()* + 、 +,-./0 1234 ①!" ②≠０ ③#$ ④%&'０ ⑤#() - 、 -.56 、 +, -.789+,-./ 01:;2<= ①*+ ②, ③-./0 ④12 ⑤$3* ⑥43* ⑦53* ⑧Δ＞０ ⑨Δ＜０ ⑩Δ＝０ 瑏瑡67845 书 一、问题的提出 在教材中反复提到：“二次函数的零点与相应的一 元二次方程根的关系”．对于这一点我们可以作进一步 的探讨：（１）二次函数的零点与一元二次方程根之间具 体的关系；（２）二次函数的零点、一元二次方程的根与 一元二次不等式的解集之间是不是也有密切的关系？ 二、问题的探讨 由于篇幅所限，以及在解题中的实用性，我们可以 对于上面提出的问题缩小范围进行探讨：对于二次三项 式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），我们仅作判别式Δ＝ｂ２－４ａｃ＞ ０时的探讨． 当ａ＞０时，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ有两个零点ｘ１，ｘ２（ｘ１ ＜ｘ２）， 如右图所示．由图易知此时一元二 次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两个根为 ｘ１，ｘ２，一元二次不等式ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ ＞０的解集为｛ｘ｜ｘ＜ｘ１或ｘ＞ｘ２｝； ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０的解集为｛ｘ｜ｘ１ ＜ ｘ＜ｘ２｝． 当ａ＜０时，也有类似结论． 由上面的分析可得到如下结论：当ａ≠０时，二次函 数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的两个零点值，一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ＝０的两个不相等的根值，一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ＜０（或 ＞０）的解集的两个不同端点值三者相同．应 用此结果可以快速解答与这三个方面相关的问题． 三、结论的应用 １．利用一元二次方程研究一元二次不等式 例１不等式ｘ２－ｐｘ－ｑ＜０的解集为｛ｘ｜４＜ｘ＜ ５｝，则ｑｘ２－ｐｘ－１＞０的解集为 （　　） （Ａ）｛ｘ｜－５＜ｘ＜－４｝ （Ｂ）｛ｘ｜ｘ＞－４或ｘ＜－５｝ （Ｃ）