3期 等式性质与不等式性质,基本不等式【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

书 专项小练一 １．ＢＣ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．ＢＤ；　５．ａ２－ｂ２ ＝１． ６．解：若关于ｘ的方程ｘ２＋ｍｘ＋ｎ＝０有两个小于１的正实 根，则Δ＝ｍ２－４ｎ＞０，即ｍ２ ＞４ｎ， 设方程的两根为ｘ１，ｘ２，则０＜ｘ１ ＜１，０＜ｘ２ ＜１， 因此０＜ｘ１＋ｘ２ ＜２，且０＜ｘ１ｘ２ ＜１， 根据根与系数的关系有 ｘ１＋ｘ２ ＝－ｍ， ｘ１ｘ２ ＝ｎ { ， 所以 ０＜－ｍ＜２， ０＜ｎ＜１{ ， 所以 －２＜ｍ＜０，０＜ｎ＜１， 即有ｑｐ．因此ｐ是ｑ的必要条件． 反之，取ｍ＝－１３，ｎ＝ １ ２，满足ｐ：－２＜ｍ＜０，０＜ｎ＜１， 那么方程变为ｘ２－１３ｘ＋ １ ２ ＝０，Δ＝ １ ９ －４× １ ２ ＜０， 此时方程ｘ２＋ｍｘ＋ｎ＝０无实根，所以ｐ／ｑ． 因此ｐ不是ｑ的充分条件． 综上所述，ｐ是ｑ的必要不充分条件． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ＢＤ．　 ５．解：（１）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命 题，“所有的”是全称量词； （２）“能被５整除的整数末位数字为０”可以表述为“所有能 被５整除的整数，末位数字都为０”，它是全称量词命题，其中省 略了全称量词“所有”． ６．（１）命题的否定：存在实数ｍ，使得方程ｘ２＋ｘ－ｍ＝０没 有实数根．当Δ＝１＋４ｍ＜０，即ｍ＜－１４时，一元二次方程没 有实根，因此是真命题． （２）命题的否定：存在末位数是０或５的整数不能被５整除． 它是假命题． （３）命题的否定：所有梯形的对角线都不互相平分．它是真 命题． （４）命题的否定：存在一个数能被８整除，但不能被４整除． 它是假命题． 一、单项选择题 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．Ｃ；　５．Ｃ；　６．Ｂ；　７．Ｄ；　８．Ｂ． 二、多项选择题 ９．ＢＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＢＤ；　１２．ＡＢＤ． 三、填空题 １３．－２；　１４．｛ｍ｜ｍ≥３｝；　１５．ａ≤１；　１６．２０１． 四、解答题 １７．解：（１）因为命题“ｘ∈Ｒ，不等式ｘ２－２ｘ－ｍ≤０”成 立是假命题，所以命题的否定“ｘ∈Ｒ，不等式ｘ２－２ｘ－ｍ＞０” 成立是真命题，即Δ＝４＋４ｍ＜０，解得ｍ＜－１，所以实数ｍ的 取值集合Ａ＝｛ｍ｜ｍ＜－１｝． （２）因为集合Ｂ＝｛ｍ｜ａ－４＜ｍ＜ａ＋４｝，又由题知集合 Ｂ是集合Ａ的真子集，即４＋ａ≤－１，解得ａ≤－５，所以实数ａ的 取值范围是｛ａ｜ａ≤－５｝． １８．解：设Ａ＝｛ｘ｜－３≤ｘ＜７｝， Ｂ＝｛ｘ｜ｋ＋１≤ｘ≤２ｋ－１｝， 因为α是β的必要条件，所以ＢＡ，所以Ｂ＝或Ｂ≠， 当Ｂ＝时，ｋ＋１＞２ｋ－１ｋ＜２， 当Ｂ≠时， ｋ＋１≤２ｋ－１， ｋ＋１≥－３， ２ｋ－１＜７ { ，  ｋ≥２， ｋ≥－４，２≤ｋ＜４， ｋ＜４ { ， 综上可得，实数ｋ的取值范围是｛ｋ｜ｋ＜４｝． １９．解：（１）因为Ｕ＝｛ｘ∈Ｎ｜０＜ｘ＜５｝＝｛１，２，３，４｝， Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－５ｘ＋４＝０｝＝｛１，４｝，因此，瓓ＵＢ＝｛２，３｝． （２）若ａ２＋１∈瓓ＵＢ，则ａ２＋１＝２或ａ２＋１＝３，解得ａ＝ ±１或ａ＝±槡２．又ａ∈Ｕ，所以ａ＝１． （３）因为Ａ＝｛１，２，ｍ２｝，瓓ＵＢ＝｛２，３｝， 当ｍ２≠３时，Ｃ＝｛２｝，此时集合Ｃ共有１个真子集，不符 合题意， 当ｍ２＝３时，Ｃ＝｛２，３｝，此时集合Ｃ共有３个真子集，符合 题意， 综上所述，ｍ＝±槡３． ２０．解：（１）由于Ｂ＝， 则有ｍ＋１＞２ｍ－１，解得ｍ＜２． 故所求实数ｍ的取值范围为｛ｍ｜ｍ＜２｝． （２）当Ｂ＝时，即ｍ＜２时，符合题意； 当Ｂ≠时， 则应满足 ｍ＋１≤２ｍ－１， ２ｍ－１＜－{ ２ 或 ｍ＋１≤２ｍ－１，ｍ＋１＞５{ ， 即ｍ＞４． 故所求实数ｍ的取值范围是｛ｍ｜ｍ＞４或ｍ＜２｝． ２１．解：（１）易得Ａ＝｛ｘ｜－３≤ｘ≤４｝． 当ｍ＝３时，Ｂ＝｛ｘ｜２≤ｘ≤７｝， 瓓ＲＢ＝｛ｘ｜ｘ＜２或ｘ＞７｝， 故Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜２≤ｘ≤４｝， Ａ∪（瓓ＲＢ）＝｛ｘ｜ｘ≤４或ｘ＞７｝． （２）因为Ａ∩Ｂ＝Ｂ，所以ＢＡ， 当Ｂ＝时，ｍ－１＞３ｍ－２，所以ｍ＜ １２； 当Ｂ≠时，即ｍ≥ １２时， ｍ－１≥－３，且３ｍ－２≤４， 所以 －２≤ｍ≤２，所以 １２≤ｍ≤２， 综上所述，实数ｍ的取值范围是｛ｍ｜ｍ≤２｝． ２２．解：由ｘ２－３ｘ＋２＝０得ｘ＝１或ｘ＝２，故Ａ＝｛１，２｝． （１）因为Ａ∩Ｂ＝｛２｝， 所以２∈Ｂ，将２代入Ｂ中的方程得ａ２＋４ａ＋３＝０． 所以ａ＝－１或ａ＝－３． 当ａ＝－１时，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－４＝０｝＝｛－２，２｝，满足条件； 当ａ＝－３时，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－４ｘ＋４＝０｝＝｛２｝，满足条件， 所以ａ＝－１或ａ＝－３． （２）对于集合Ｂ，Δ＝４（ａ＋１）２－４（ａ２－５）＝８（ａ＋３）． 因为Ａ∪Ｂ＝Ａ，