1期 集合与集合的运算【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

书 一、判定集合间的关系 例１已知集合 Ｍ ＝｛ｘ｜ｘ≥ ２或ｘ＜－１｝，Ｎ＝ ｛ｘ｜２ｘ＋４＜０｝，则集合Ｍ，Ｎ的关系是 ． 解：因为Ｍ ＝｛ｘ｜ｘ≥２或ｘ＜－１｝， Ｎ＝｛ｘ｜２ｘ＋４＜０｝＝｛ｘ｜ｘ＜－２｝， 由数轴可知ＮＭ． 点评：本题利用数轴直观明了的特点，为解题提供 了一个准确快捷的方式． 二、求参数的值或取值范围 例２已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜ａ｝，Ｂ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝， 且Ａ∪（瓓ＲＢ）＝Ｒ，则实数ａ的取值范围是 （　　） （Ａ）ａ≤１　　　　　（Ｂ）ａ＜１ （Ｃ）ａ≥２　　 （Ｄ）ａ＞２ 解：因为Ｂ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝， 所以瓓ＲＢ＝｛ｘ｜ｘ≥２或ｘ≤１｝． 由Ａ∪（瓓ＲＢ）＝Ｒ，借助数轴，由图２可知ａ≥２． 点评：由于两个集合中一个为静集合、一个为动集 合，解答时借助于数轴，利用数形结合的方法直观求解， 使问题获得简捷的解法． 三、确定集合或集合中的元素 例３某班有学生５５人，其中体育爱好者４３人，音乐 爱好者３４人，还有４人既不爱好体育也不爱好音乐，则 该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 ． 解：设爱好体育的学生的集合为 Ａ，爱好音乐的学 生的集合为Ｂ，则Ａ∪Ｂ的元素个数为５１，Ａ的元素个数 为４３，Ｂ的元素个数为３４． 设既爱好体育又爱好音乐的人数为ｘ，由Ｖｅｎｎ图可 知（４３－ｘ）＋（３４－ｘ）＋ｘ＝５１，解得ｘ＝２６． 点评：Ｖｅｎｎ图是解决集合问题的有效工具，它是将 抽象的文字语言、符号语言转化为直观、形象的图形语 言的有效手段，是数学中数形结合思想的具体体现，它 能使复杂的集合问题简单化、具体化和直观化． 书 一、概念含糊 例１已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ＋２＝０，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜５，ｘ∈Ｎ｝，则满足条件ＡＣＢ的集 合Ｃ的个数为 （　　） （Ａ）１　　　（Ｂ）２　　　（Ｃ）３　　　（Ｄ）４ 错解：（Ｂ）　由题意知Ａ＝｛１，２｝，Ｂ＝｛１，２，３，４｝． 又 Ａ Ｃ Ｂ，则集合 Ｃ可能为｛１，２，３｝，｛１，２，４｝． 选（Ｂ）． 事实上，错解把子集错误地理解为真子集，将ＡＣ 误认为集合Ａ中的元素比集合Ｃ中的元素要少，其实子 集也包括相等的情况．则集合Ｃ可能为｛１，２｝，｛１，２，３｝， ｛１，２，４｝，｛１，２，３，４｝．选（Ｄ）． 例２下列集合中表示同一集合的是 （　　） （Ａ）Ｍ ＝｛（３，２）｝，Ｎ＝｛（２，３）｝ （Ｂ）Ｍ ＝｛ｘ｜ｘ＋１＞０｝，Ｎ＝｛ｙ｜ｙ＋１＞０｝ （Ｃ）Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ＝１｝，Ｎ＝｛ｙ｜ｘ＋ｙ＝１｝ （Ｄ）Ｍ ＝｛１，２｝，Ｎ＝｛（１，２）｝ 错解：（Ａ）或（Ｃ）或（Ｄ） 事实上，选项（Ａ），集合Ｍ，Ｎ为点集，而点（３，２）与 点（２，３）为不同的点，错解误认为数集；选项（Ｃ），集合 Ｍ为点集，集合Ｎ为数集；选项（Ｄ），集合 Ｍ为数集，集 合Ｎ为点集；错解忽视了代表元素．而选项（Ｂ），集合Ｍ， Ｎ表示的都是“大于 －１的实数”，为同一集合． 二、对集合的表示法理解有误 例３方程组 ｘ＋ｙ＝３， ｘ－ｙ＝－{ １的解集是 ． 错解：解方程组可得 ｘ＝１， ｙ＝２{ ， 因此，方程组的解集为｛ｘ＝１，ｙ＝２｝． 事实上，上面的集合中有两个元素，表示的是两个 方程，而方程组的解是一个数对，因此，应该写为｛（１， ２）｝或 （ｘ，ｙ） ｘ＝１ ｙ＝{ }{ ２． 三、符号混淆 例４下列关系式正确的是 ． ①｛ａ，ｂ｝｛ｂ，ａ｝；②｛ａ，ｂ｝＝｛ｂ，ａ｝；③０∈｛０｝； ④∈｛０｝． 错解：②③④． 事实上，符号“ＡＢ”包括“Ａ＝Ｂ”和“ＡＢ”两 种情况，故①正确； 而和｛０｝是两个集合，且有｛０｝，故④错． 因此，正确的是①②③． 例５在给定下面关系式中，错误的是 （　　） （Ａ）｛｝ （Ｂ） （Ｃ）∈｛｝ （Ｄ）｛｝ 错解：选（Ｃ）． 事实上，集合与集合是包含关系，且空集是任何集 合（包括空集）的子集，故（Ｂ）正确；｛｝中  其实是 一个元素的符号，就｛｝本身来说是一个非空集合，如 果把 视为是集合中的元素符号，那么根据元素与集 合是属于关系，得知（Ａ）错误，（Ｃ）正确；如果把视为 是空集符号，那么根据集合与集合是包含关系，得知 （Ｄ）也正确． 故选（Ａ）． 四、忽视集合中元素的互异性 例６已知集合Ａ＝｛１，９，ａ２｝，Ｂ＝｛１，ａ｝，ＢＡ，求 实数ａ的值． 错解：由题意得ａ２ ＝ａ或９＝ａ， 解得ａ＝０，ａ＝１或ａ＝９． 事实上，集合中的元素具有互异性，当ａ＝１时，集 合Ｂ＝｛１，１｝，显然与元素的互异性相矛盾． 故ａ的值等于０或９． 例７设集合Ａ＝｛２，ａ２－ａ＋２，１－ａ｝，若４∈Ａ，则 ａ的值为 ． 错解：－１，－３，２　由集合中元素的确定性知ａ２－ ａ＋２＝４或１－ａ＝４． 当ａ２－