3期 不等式【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 有 一 批 货 物 成 本 为 ａ 元 ， 如 果 本 月 初 出 售 ， 可 获 利 润 １００ 元 ；如 果 下 月 初 出 售 ，可 获 利 润 １２０ 元 ．若 本 月 初 出 售 后 把 本 利 投 资 某 小 商 品 ，月 收 益 为 ２％ ；若 下 月 初 出 售 ， 则 要 付 ５ 元 保 管 费 ， 试 问 是 本 月 初 出 售 好 ，还 是 下 月 初 出 售 好 ？并 说 明 理 由 ． ２０． （１２ 分 ） （１ ） 已 知 ａ ＞ ０ ，ｂ ＞ ０ ，且 ４ａ ＋ ｂ ＝ １ ，求 ａｂ 的 最 大 值 ； （ ２ ） 已 知 ｘ ＜ ５４ ，求 ｆ（ｘ） ＝ ４ｘ － ２ ＋ １ ４ｘ － ５ 的 最 大 值 ． ２１． （１２ 分 ） 已 知 ａ ，ｂ，ｃ ＞ ０ ，证 明 ： ａ ２ｂ ＋ ｂ ２ｃ ＋ ｃ ２ａ ≥ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ． ２２． （１２ 分 ） （１ ） 设 原 糖 水 ｂ 克 ，含 糖 ａ 克 ，糖 水 浓 度 为 ａｂ ；另 一 份 糖 水 ｄ 克 ， 含 糖 ｃ 克 ，糖 水 浓 度 为 ｃｄ ，且 ａｂ ＜ ｃｄ ，证 明 ： ａｂ ＜ ａ ＋ ｃ ｂ ＋ ｄ ＜ ｃｄ （ 其 中 ｂ ＞ ａ ＞ ０ ，ｄ ＞ ｃ ＞ ０ ）． （２ ） 设 原 糖 水 ｂ 克 ，含 糖 ａ 克 ，糖 水 浓 度 为 ａｂ ，加 入 ｍ 克 水 ，证 明 ： ａｂ ＞ ａ ｂ ＋ ｍ （ 其 中 ｂ ＞ ａ ＞ ０ ，ｍ ＞ ０ ）． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 一、利用不等式的性质比较大小 例１试比较ａ２－４ａ＋３和 －４ａ＋１的大小． 解：因为（ａ２－４ａ＋３）－（－４ａ＋１）＝ａ２＋２， 又ａ２≥ ０，所以 ａ２ ＋２＞０，即（ａ２ －４ａ＋３）－ （－４ａ＋１）＞０，所以ａ２－４ａ＋３＞－４ａ＋１． 例２已知ａ＞０，试比较ａ与 １ａ的大小． 思路分析： 作差 → 变形 → 讨论 → 定号 → 结论 解：因为ａ－１ａ ＝ ａ２－１ ａ ＝ （ａ－１）（ａ＋１） ａ ，ａ＞０， 所以当ａ＞１时，（ａ－１）（ａ＋１）ａ ＞０，有ａ＞ １ ａ； 当ａ＝１时，（ａ－１）（ａ＋１）ａ ＝０，有ａ＝ １ ａ； 当０＜ａ＜１时，（ａ－１）（ａ＋１）ａ ＜０，有ａ＜ １ ａ． 综上，当ａ＞１时，ａ＞ １ａ；当ａ＝１时，ａ＝ １ ａ；当 ０＜ａ＜１时，ａ＜ １ａ． 二、利用不等式的性质证明不等式 例３若ａ＞ｂ＞０，ｃ＜ｄ＜０，ｅ＜０，证明： ｅａ－ｃ＞ ｅ ｂ－ｄ． 证明：因为ｃ＜ｄ＜０，所以 －ｃ＞－ｄ＞０． 又ａ＞ｂ＞０，所以ａ－ｃ＞ｂ－ｄ＞０，故０＜ １ａ－ｃ ＜ １ｂ－ｄ．而ｅ＜０，所以 ｅ ａ－ｃ＞ ｅ ｂ－ｄ． 例４已知ａ＞ｂ＞０，ｃ＜ｄ＜０，证明： ３ ａ 槡ｄ ＜ ３ ｂ 槡ｃ． 证明：－ａｄ (－ －ｂ)ｃ ＝－ａｃ－（－ｂｄ）ｄｃ ． 因为ｃ＜ｄ＜０，所以 －ｃ＞－ｄ＞０， 又因为ａ＞ｂ＞０，所以 －ａｃ＞－ｂｄ＞０，即 －ａｃ－ （－ｂｄ）＞０，又 ｃｄ＞０，所以－ａｃ－（－ｂｄ）ｄｃ ＞０，所以 －ａｄ (－ －ｂ)ｃ ＞０，所以－ａｄ＞－ｂｃ＞０，所以 ３ －ａ槡ｄ ＞ ３ －ｂ槡ｃ，即 － ３ ａ 槡ｄ ＞－ ３ ｂ 槡ｃ，所以 ３ ａ 槡ｄ ＜ ３ ｂ 槡ｃ． 深度剖析：利用不等式的性质证明简单不等式的实 质及注意点． 实质：根据性质把不等式变形 注意点：记准、记熟不等式的性质；注意不等式成立 的条件，且不可省略条件或跳步推导． 三、利用不等式的性质求范围 例５已知１２＜ａ＜６０，１５＜ｂ＜３６，则ａ－ｂ的取 值范围为 ， ａ ｂ的取值范围为 ． 思路分析：由ｂ的范围，可求 －ｂ，１ｂ的取值范围，再 由不等式的性质，可求ａ－ｂ，ａｂ的取值范围． 解：因为１５＜ｂ＜３６，所以 －３６＜－ｂ＜－１５． 又因为１２＜ａ＜６０，所以 －２４＜ａ－ｂ＜４５． 因为１５＜ｂ＜３６，所以 １３６＜ １ ｂ ＜ １ １５． 又因为１２＜ａ＜６０，所以 １３ ＜ ａ ｂ ＜４． 所以ａ－ｂ，ａｂ的取值范围分别为 －２４＜ａ－ｂ＜４５，１３ ＜ ａ ｂ ＜４． 例６已知二次函数 ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ，且满足１≤ ｆ（－１）≤２，２≤ｆ（１）≤４，求ｆ（－２）的取值范围． 解：由ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ，得 ｆ（１）＝ａ＋ｂ， ｆ（－１）＝ａ－ｂ{ ， 所以 ａ＝ １２［ｆ（１）＋ｆ（－１）］， ｂ＝ １２［ｆ（１）－ｆ（－１）］ { ． 因为ｆ（－２）＝４ａ－２ｂ＝３ｆ（－１）＋ｆ（１）， 又１≤ｆ（－１）≤２，２≤ｆ（１）≤４， 所以５≤